Краткая подводка к одной из самых сложных математических теорий — исчислению Шуберта.
Итак, что же это за такой принцип? Начнем с рассмотрения такого многочлена:
В нём нет ничего страшного, ведь при n=2 он станет знакомым всем школьником квадратным трехчленом. Ответим на вопрос: сколько пересечений с осью х получится, если построить график этого многочлена?
Очевидно, что вопрос эквивалентен вопросу о том, сколько вещественных корней у многочлена f(x).
Для понимания рассмотрим конкретный и простой пример:
У нас есть три параболы: первая имеет две точки пересечения с осью х (два различных вещественных корня), вторая не имеет ни одного (ни одного вещественного корня), а третья имеет одну (два совпадающих вещественных корня).
Давайте теперь попробуем немного "пошевелить" параболы, добавляю к их функциям величину ε=±0,1:
Что изменилось? Для первой и второй параболы ничего, а вот третья в одном случае не имеет пересечений, а в другом имеет целых два! В чем же её отличие от первых двух?
В математике это называется кратностью корней: третий многочлен имеет один корень кратностью два, в то время как остальные кратных корней не имеют.
Заметьте, что даже при бесконечно малом "шевелении" третья парабола так или иначе перейдет в другое состояние. Эти простые размышления позволяют сформулировать принцип сохранения числа для многочленов:
Если вещественный многочлен f(x) не имеет кратных корней, то при достаточно маленьком ε, многочлены f(x) и f(x) + ε имеют одинаковое количество корней.
Этот принцип в более общем виде можно сформулировать и по-другому: если немного изменить коэффициенты многочлена, то количество его вещественных корней не изменится. Тривиально?
Немецкий математик Германн Цезарь Ганнибал Шуберт. (22 мая 1848 — 20 июля 1911)
Математическая судьба-настоящая злодейка. Из такой просто теоремы родилось одно из сложнейших для понимания направлений математики — исчисление Шуберта, задачей которого является решений проблем исчислительной геометрии. Типичная задача из этой области звучит так
В трехмерном пространстве заданы четыре попарно скрещивающиеся прямые. Сколько прямых пересекают все четыре данные прямые?
Давид Гильберт в своей знаменитой речи в 1903 году поставил развитие идей Шуберта под номером 15 в списке перспективнейших математических задач 20-го столетия. Источник: https://i.livelib.ru/auface/546629/o/f151/David_Gilbert.jpg
Формулировки этой теории легки, пока их можно представить на уровне плоскости и пространства. Но стоит уйти в пространства высших размерностей в исчисление Шуберта врываются алгебраические методы, настолько сложные, что математики считают, что "его изучение требует в три раза больше знаний и времени по сравнению с другими дисциплинами".
Вот такие цветочки растут из тривиальных зернышек! В следующей статье решим одну из задач исчисления Шуберта, в котором Вы четко увидите глубинную взаимосвязь между исчислительной геометрией и принципом сохранения числа. Спасибо за внимание!
