Простая фигура, периметр которой невозможно найти точно

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! С самого начала изучения математики мы учились находить площади фигур. На уроках геометрии вычисляли длину окружности, периметры треугольника, различных четырехугольников и многоугольников.

От нас что-то скрывали! Источник: https://avatarko.ru/img/kartinka/33/film_muzhchina_Matrix_34175.jpg

Но только совсем недавно, я заметил, что лишь одну геометрическую фигуру словно умышленно пропускали в школьном курсе с точки зрения нахождения периметра — эта фигура называется "эллипс". Оказывается, что именно эта непримечательная "сплюснутая окружность" стала камнем преткновения для математического анализа. Разберемся подробнее. Поехали!

Помните, как расшифровываются все эти обозначения? Самые главные — это фокусы F1 и F2, с — фокальное расстояние, а — большая полуось, b — малая полуось. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Ellipse_parameters_3.svg/840px-Ellipse_parameters_3.svg.png

Итак, эллипс — это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух точек плоскости, называемых фокусами, постоянна и больше расстояния между ними. Вот так выглядит анимация построения эллипса:

Источник: https://i.stack.imgur.com/ADzBM.gif

У эллипса куча замечательных свойств, интересных равенств, но мы всё-таки хотели узнать про его периметр. Напомню, что длину кривой на плоскости можно найти через интеграл. В случае с эллипсом удобно задать его в параметрической форме:

Задавая параметры а и b , можно получать разные эллипсы

Интегральное выражения выглядит так:

Даже, если Вы совсем ничего не понимаете в интегралах, не берите в голову. Дальнейший ход мыслей Вам понравится. Подставляем уравнение эллипса в формулу длины:

Кстати, если а=b, то вынося за скобки а^2, получим основное тригонометрическое тождество под корнем. Вспомнив это, получим формулу для длины L = 2pi*a — не что иное, как периметр обыкновенной окружности

Опустим некоторые дальнейшие преобразования, ведь данный интеграл выразить через элементарные функции НИКАК НЕЛЬЗЯ. Другими словами, интеграл — неберущийся, и найти его значение можно только численными методами, заведомо закладываясь на некоторую погрешность. Таким образом, точной формулы периметра эллипса в классическом понимании просто не может существовать!

А если надо ?

Конечно, с практической точки зрения нахождение периметра эллипса не представляет никаких трудностей. Одна из самых простых формул, дает максимальную погрешность в доли процента, вот она:

Модернизировал эту формулу наш старый знакомый индийский гений Сриниваса Рамануджан. Он вывел совсем уж огромные формулы (это был его стиль), так что приводить я их не буду. Другие попытки найти наиболее приближенную формулу нахождения периметра эллипса, как легко догадаться, уводят в бесконечные ряды.

Спасибо за внимание! На одно белое пятно в школьной математике стало меньше!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: