Простейшая теорема о британском флаге, которая неожиданно обобщается на всё вокруг

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Прежде чем переходить к самой теореме необходимо рассмотреть одну занимательную геометрическую задачку, решив которую мы придем к простому практическому правилу, которое и называется теоремой о британском флаге. Поехали!

Требуется найти расстояние от точки, находящейся в прямоугольнике до одной из вершин, если известны остальные три расстояния.

Ну что же, как обычно ищем варианты применить теорему Пифагора и вводим переменные:

Переменных больше, чем уравнений

Ничего сложного — нужно лишь грамотно подойти к операциям с уравнениями и понадобится лишь три хода:

Ну что же, ответ получен, а заодно в ходе решения и прослеживается сама теорема:

Если точка Q выбрана внутри прямоугольника ABCD, то сумма квадратов расстояний от P до двух противоположных углов прямоугольника равна сумме расстояний до двух других противоположных углов.

В формулах это выглядит (и проверяется) так:

Изумительно! Но постойте, сейчас будет еще круче! Оказывается, теорема о британском флаге справедлива, даже если точка располагается вне прямоугольника.

Это, кстати, легко доказывается:

Окиньте взглядом эту тривиальную, но невероятную красоту. Оказывается, от положения точки относительно прямоугольника НИЧЕГОШЕНЬКИ не зависит!

Если хотите, для каждой точки евклидова пространства относительно прямоугольника есть инвариант!

У теоремы о британском флаге есть обобщения и для трехмерного пространства (например воспарите над плоскостью на прошлом рисунке), однако самым красочным, по моему мнению, является такое следствие:

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/British_flag_theorem_squares.svg/378px-British_flag_theorem_squares.svg.png

Согласно теореме о британском флаге, красные квадраты имеют ту же общую площадь, что и синие.

Спасибо за внимание! Подписывайтесь на канал и ставьте "Нравится" этой статье.

Читайте также:

  • Как такое может быть, что две стороны и угол между ними равны, а треугольники — нет ?
  • Задача о расположении точки в вычислительной геометрии
  • Идеальная геометрическая теорема
  • Правило трех гвоздей в математике
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: