Простое математическое свойство, о котором не рассказывали в школе

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, каждый из Вас слышал о таких свойствах математических операций, как ассоциативность и дистрибутивность: их изучают еще начальной школе, когда вбивают в мозг ребенка, что (а+b)+c = a + (b+c), и a (b+c) = ab + ac.

Однако есть одно свойство, о котором в школьной программе прямым текстом не упоминается, хотя математические операции, которые им обладают широко применяются в школе. Поговорим об идемпотентности. Поехали!

Бенджамин Пирс — еще он, кстати, сделал большой вклад в открытие Нептуна.Источник: https://cdn.britannica.com/56/172556-050-0192B4B9/Benjamin-Peirce-1865.jpg

Впервые термин "идемпотентность" предложил американский математик Бенджамин Пирс. Он происходит от слов "idem" — тот же самый и "potens" — способный. Иными словами — давать тот же результат при повторном применении операции или, по-научному, быть инвариантом. Как и когда? Давайте на примерах:

Сложение с нулем — действительно a = а+0 = (а+0)+0 = …. . Умножение на ноль не идемпотентно, ведь 5 не равно 5*0 = (5*0)*0 = …
Умножение на единицу — ведь a = a*1 = (a*1)*1 = …
Операция взятия модуля числа — |x| = |(|x|)| = |(||x||)| = …
Операция выбора максимального значения — max (x,y)= max(max(x,y),y) = …
Возведение в единичную степень, сложение по модулю два с нулём (см.рис) ;
Нахождение остатка от деления (см. рис).

Выше речь шла, в основном об идемпотентных операциях, но в общей алгебре есть понятие идемпотентного элемента, который сохраняется при умножении сам на себя. В это понятие углубляться не будем, потому что тогда надо изучить некоторые другие понятия, например, группы и полугруппы. Я, кстати, начинал уже подводить Вас к знакомству с абстрактной алгеброй, выпустив статьи:

Перестановки и подстановки.
Последовательные подстановки.

В заключении хотел бы отметить, что существует и идемпотентная алгебра — современная ветвь математики, которая широко применяется в моделировании процессов в сетях массового обслуживания. Её основное преимущество в простоте — с помощью определения исключительно идемпотентных операций на абстрактных множествах чисел удается сводить многие сложные задачи, например, к решению линейных уравнений. Даже такая, казалось бы, максимально отвлеченная от реальности математика носит прикладной характер.