Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Решил сегодня тряхнуть стариной и обратиться к одному из самых любимых математических методов — методу неопределенных коэффициентов, перед которым падают ниц даже самые страшные дробно-рациональные функции. Предлагаю посмотреть, как это происходит. Поехали!
Источник: https://р52.навигатор.дети/images/events/cover/d055d825feafc1e55fbf648ecf1935d5_big.jpg
Итак, в качестве примера возьмем правильную дробь (степень многочлена числителя меньше, чем степень многочлена знаменателя), которую постараемся разложить на простейшие.
Такая задача чаще всего возникает, когда необходимо взять интеграл от дробно-рациональной функции.
В первую очередь необходимо разложить знаменатель. Такое разложение всегда возможно, при чем известно, что оно будет единственным и представлять собой комбинацию двучленов и одночленов. В нашем случае применяем схему Горнера, которую я описал в прошлой статье:
Схему Горнера применяем, пока не получится остаток, отличный от нуля. Два нулевых остатка — кратность корня х=-1 равна 2. что выражается в возведении в квадрат одночлена (x-1) в итоговом разложении. Оставшийся двучлен неприводимый над R — вещественных корней не имеет (посчитайте дискриминант).
Ну что ж, применяем метод неопределенных коэффициентов, а затем приводим все дроби в одну монструозную:
Обратите внимание, что для двучлена имеющего вещественные корни (х-1)^2 в числителе ставим коэффициенты А и B. Для неприводимого над полем R двучлена в третьем слагаемом в числителе ставим линейную функцию Cx+D. Других вариантов нет, просто запомните.
Теперь наша задача приравнять коэффициенты при степенях у числителей исходной и полученной дроби. Чтобы не ошибиться. я всегда делаю разные линии подчеркивания: прямые, волнистые и т.д. В итоге получим вот такую систему линейных уравнений:
Как решать эту систему уравнений- дело каждого. Я пошел прямо "в лоб", о чём ни капли не жалею.
Получив коэффициенты, конечно же необходимо подставить и проверить решение системы. В нашем случае всё сходится великолепно, поэтому с чистой душой можно писать ответ:
Теперь осталось перевести дух и проинтегрировать всё это безобразие… Но на сегодня хватит. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Красивое доказательство иррациональности числа Эйлера
- Самые одинокие простые числа
- Классная задача из учебника Колмогорова
- Что такое расстояние?
- Как решить уравнение, у которого нет решений ?
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
