Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлой статье (прочитайте) я рассказывал Вам об очень оригинальной математической головоломке, принадлежащей перу еврейского историка Флавия.
Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/3668119/pub_5f0c9baff70fa05f45f37bc9_5f0c9c096e1b0e7dee77440f/scale_1200
Тогда мы ограничились найденным на пальцах решением, а сегодня попробуем найти закономерности в самом простом случае: когда каждый из солдат выбивает своего непосредственного соседа. Итак, поехали!
Для начала придётся поработать ручками, а именно построить несколько диаграмм для небольшого числа солдат:
Кружочками над стрелками я обозначил последовательность "выбивания" солдат. Выживший также обведен.
Что же получается, так сразу и не скажешь. Для этого необходимо свести полученные результаты в таблицу:
Добавьте описание
Сразу заметим, что, если количество солдат равно степени двойки, то выживший всегда находится на первом месте. Действительно, это легко показать, учитывая, что конфигурации из 16,8,4,2 солдат последовательно переходят друг в друга (см. рисунок выше для перехода 8 —> 4).
Последовательность как бы перезапускается на степенях двойки
Напрашивается вывод, что выигрышные позиции расположены в зависимости от разницы числа солдат и степеней двойки. Эмпирический результат (впрочем, доказываемый по индукции) выглядит так:
Дополнительное условие: формула действует, если l<2a. Есть и обобщенная формула, в которой фигурирует логарифм.
Однако, есть еще более универсальный метод. Для него нужно перевести число солдат, стоящих в кругу, из десятичной системы в двоичную, а потом перенести разряд:
Теперь каждый знает, как выжить!
Кстати, для оригинального случая из задачи Флавия, когда солдаты выбывали через одного, математики даже нашли константу, равную примерно 0,8, которая участвует в причудливой формуле, позволяющей и здесь вычислить теплое местечко. Спасибо за внимание!
