Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Одна из самых первых статей на моём канале была посвящена самому красивому математическому тождеству, которое выводится на основе великолепной формулы Эйлера.
Источник: https://shkolazhizni.ru/img/content/i160/160047_or.jpg
Тогда я только констатировал факт безмерного восхищения, но никаких доказательств не привел. Пришло время исправить этот недостаток. К тому же, сам вывод так же изящен и требует знания только школьной математики. Поехали!
Леонард Эйлер получил эту формулу в 1740 году. С тех пор её изяществу не было равных. Источник: https://interesnyefakty.org/wp-content/uploads/leonard-ejler-1.jpg
Ну ладно, чуть больше, чем школьных. Для вывода требуется понимание, что большинство знакомых в школьном курсе математики функций можно разложить в ряд Маклорена.
Для этого, всего лишь, требуется уметь вычислять производные и подставлять "0" вместо х. Возьмем экспоненциальную функцию:
Производная от экспоненты равна ей самой, e^0 = 1 в каждом из слагаемых бесконечного ряда. Подставим x=1, получим e^1=e = 1 + 1 + 1/2 +1/6 + 1/24 + … ≈ 2,71828.
Вместо x в качестве переменной никто не запрещает использовать не только числа, но и другие выражения, поэтому мы, например, заменим "x" на "ix" и посмотрим, что получится:
Главное не запутаться с чередованиями знаков при возведении мнимой единицы в различные степени.
Что-то мы получили, однако требуется еще два шага на пути к заветной цели. Мы рассмотрели разложение экспоненты в ряд Маклорена, а теперь необходимо то же самое проделать с sin(x) и cos(x):
Для cos(x): cos'(x) = -sin(x), cos''(x) = -cos(x), cos'''(x) = sin(x), cos''''(x) = cos (x) — круг замкнулся на 4 шаге. Дальше опять аккуратно со знаками
Пришло время совместить три полученных выражения для экспоненты и тригонометрических функций и получить желанную формулу Эйлера:
Последнее тождество по результатам самых разных голосований, опросов и является самой красивой математической формулой, которую только придумал человек.
Геометрическое представление. https://www.pvsm.ru/images/2019/05/31/samaya-krasivaya-teorema-matematiki-tojdestvo-eilera-9.png
Не красотой едины: сама формула Эйлера (в символьном виде) — одно из важнейших выражений, связывающее мир комплексных и вещественных чисел, экспоненту и тригонометрию. Экспоненциальное представление комплексных чисел удобнее чем алгебраическое и используется в обработке сигналов, электротехнике, картографии, квантовой механике и в многих других областях науки. Спасибо за внимание!
