Активируйте ПРОМОКОД mathematic25 для LITRES.RU до 31.08 и получите скидку 25% на весь каталог электронных книг.
Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Я уже писал когда-то о самом невероятном математическом совпадении и о других математических конструкциях (например, формулах), полных красоты, например фракталах. Впрочем, все эти красоты, так или иначе, реализуются через специальные функции, построения и т.д. Сегодня же мы поговорим о "фундаментальной красоте" математики — распределении простых чисел — очень важной задачи, имеющей огромное прикладное значение. Поехали!
Предыстория
1963 год. На очередном семинаре польский математик Станислав Улам откровенно скучает. Вместо того, чтобы слушать докладчика, он чертит на бумаге сетку для шахматного этюда, но вместо этого начинает нумеровать клетки своей тетради по спирали:
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg/300px-Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg.png
Чисто интуитивно Станислав начинает отмечать простые числа, т.е. те, которые нацело не делятся ни на какие числа, кроме себя и единицы:
Совпадение? Не думаю!
Уже даже на таком небольшом рисунке ему становится ясно, что простые числа удивительным образом выстраиваются по диагоналям или, как сказал Улам, " проявляли сильно неслучайное поведение". Добравшись до институтской ЭВМ, математик вместе с коллегами построил этот паттерн для 90 миллионов чисел и получил т.н. скатерть Улама или спираль простых чисел:
Черные точки — простые числа. Картина абсолютно неслучайна: если сравнить ее с такой же картиной, но с расположенными случайно точками, различие будет очень серьезное. Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/77e/982/74b/77e98274b13272030ffa8f9c21eb33b5.jpg
В чем математическое значение скатерти Улама ?
Диагонали, на которых лежат простые числа описываются квадратным трехчленом вида: ax^2+bx+c, что позволяет быстро выделять такие многочлены, порождающие простые числа, что является важной криптографической задачей. Например, вот известный порождающий трехчлен Эйлера: x^2+x+41, значение которого для любого числа меньше 40 является простым числом:
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/Ulam_2.png
Пройдя по пути Улама, математики начали предлагать другие, иногда даже более удобные, визуализации. Например, спираль Сакса, построенная по следующему принципу в полярной системе координат:
Для каждого числа его расположение на спирали Сакса определяется расстоянием r и углом θ . Например, для числа 16, радиус — это √ 16 = 4, а угол θ =2π*4=8π, т.е. это число расположено строго на восток. Если взять больше чисел, получится завораживающая картина:
Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fd1/0ee/792/fd10ee7929e217d66daa89a56ad93720.png
В спирали Сакса простые числа располагаются на кривых линиях, называемых "кривыми произведений". Так как они закручиваются в бесконечность, с их помощью можно предсказывать появление гигантских простых чисел, что очень нравится криптографам, т.к. чем больше простое число, тем труднее "взломать" шифр, на основе которого он создан (очень грубое описание).
Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b82/5ce/0f7/b825ce0f776bf59626a456ea775c411b.png
Почему скатерть Улама и спираль Сакса нравятся мне больше других визуализаций? Всё потому, что простые числа — это "кирпичики" математического мироздания, которые появляются во всех сферах реальной жизни, а для построения этих картин не требуется никаких вспомогательных функций: надо просто записать определенным порядком все положительные числа. Красота в простоте!
Розыгрыш в честь скорых 5000 подписчиков
Редактировать галерею
Ссылка на группу в контакте
Понравилось? А знаете, почему нельзя сложить листок A4 больше 6-7 раз?
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
