Самая маленькая из бесконечностей — Алеф-0. Неожиданные свойства

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Бесконечности занимают особое место на моём канале: я искренне люблю эти математические абстракции и каждый раз восхищаюсь как в первый. Сегодня хочу Вам рассказать о наименьшей из бесконечностей, которую принято обозначать первой буквой еврейского алфавита — алеф₀ (א). Мы уже несколько раз встречались с этим понятием, когда говорили о счетных бесконечностях, например, таких, как натуральные и рациональные числа. Посмотрим же, какие необычные свойства есть у самой малой бесконечности. Поехали!

Источник: https://storage.vsemayki.ru/images/0/1/1395/1395801/previews/people_4_mug_twotone_front_whiteblack_500.jpg

Итак, прежде всего напомню, что каждое множество можно охарактеризовать неким числом, которое называется "кардиналом" или кардинальным числом. Для всякого конечного множества его кардиналом будет некое число, которое можно конкретно указать, посчитав его элементы (на языке математики — установив взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и неким подмножеством натуральных чисел).

Множества А также можно называть "не более, чем счетным"

С любым конечным числом проблем не возникнет, а что делать, если тигрят бесконечность? Выход аналогичный: продолжать устанавливать соответствие:

Наименьший из бесконечных кардиналов

Но как обозначить "последний" элемент этой бесконечности? Отец теории множеств Георг Кантор предложил алеф с индексом 0, символизируя наименьшую счетную бесконечность.

Парадоксальные свойства множества алеф-0 проявляются сразу же, как становится понятно, что часть этого множества равна целому! Действительно, пронумеруем тигрят и разделим их на три части:

Равенство справа вполне очевидно

Я думаю, вы уже догадались, что будет, если взять одно из подмножеств: его кардинальное число так же будет равно алеф-0!

Можно показать, что даже сумма бесконечного (но счетного!) числа мощностей всё равно не превышает алеф-0. Оказывается, сколько не добавляй к бесконечности, больше не станет. А если умножать, вот что получится:

Ничего не меняется, т.к. умножение эквивалентно сложению. Что же получается? Нам никак не выбраться из этой клетки, и вся бесконечность — это непонятное ничто? Конечно, нет. Если мы рассмотрим множество всех подмножеств счетного множества, то получим удивительный результат — бесконечность, которая больше предыдущей. Её Георг Кантор назвал континуальной, в противовес предыдущей — счетной.

О том, что таит в себе континуум, а также с одной из величайших математических проблем, с ним связанным, поговорим в следующих материалах. Спасибо за внимание!

Читайте также:

  • Какой бывает бесконечность ?
  • Числа, которые больше бесконечности
  • Почему 2 больше, чем 1 ?
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое .
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: