Самая важная математическая проблема современности. Гипотеза Римана

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Пару дней назад я написал статью о первых четырех математических задачах "тысячелетия": гипотезе Пуанкаре, равенстве классов P и NP, гипотезе Ходжа и гипотезе Бёрча-Свиннертона-Дайера (ссылка на материал будет в конце статьи). Осталось три задачи, но одну из них я должен выделить отдельно.

Более того, я вынужден буду разделить эту статью на две, потому что объем материала, чтобы хотя бы подобраться к теме нашего разговора, требует хоть и во многом тривиальной, но всё-таки математической подготовки. Этим и займемся сейчас! Не бойтесь — поймет каждый!

Георг Герхард Бернхард Риман. Источник: https://www.takieng.com/wp-content/uploads/2017/09/bernhard-riemann-1.jpg

Множеством ученых гипотеза, сформулированная в 1859 году 32-летним членом-корреспондентом Берлинской академии наук Бернхардом Риманом (кстати, его единственная (!!!) работа в рамках теории чисел), считается:

"наиболее вызывающей и интересной математической гипотезой, которая дразнит математиков уже больше 150 лет" — Ф.А. Грифит, директор высших исследований в Принстоне.

Итак, гипотеза Римана посвящена вопросу распределению простых чисел (мы их часто касались в последнее время) и очень связана с т.н. "базельской задачей" (почитайте мою статью, прежде чем продолжить).

При n=2 и возникает "базельская проблема" нахождения суммы ряда (она равна (пи^2)/6) Решил задачу великий Леонард Эйлер.

Риман же использовал немного другое обозначение, которого и мы будем придерживаться:

Эта функция называется дзета-функцией Римана и это — самая важная формула в теории чисел. Однако, такая запись неудобная и громоздкая, поэтому переписать её лучше в таком виде:

Упростили, сведя всё к знаку суммы

n — это последовательность натуральных чисел 1,2,3 и т.д., а s мы можем выбирать. Самое интересное, что этот ряд всегда имеет конечное значение для всех s, больших единицы. Например, если будем возводить все натуральные числа в степень s = -1,0001, то получим, что бесконечность "закончится" с результатом примерно 10000, т.е. ряд сходящийся! Если же s = 1, то ряд расходится, т.е. не имеет конечного значения.

График дзета-функции Римана для S>1

Тут всё ясно, а что, если s=0? Ни слова больше, считаем:

Очевидно, что ряд расходится. Конечного значения у него нет

Если взять отрицательные числа, например, s = -1 и числа между 0 и 1, например, s = 1/2 то получим:

И в том и в другом случае ряды расходящиеся. Если в первом случае, всё и так ясно, ведь сумма членов ряда растет неограниченно, то во втором случае требуются пояснения:

Мы знаем, что дзета-функция Римана при s = 1 расходится (Гаусс определил это за нас). Обратите внимание, что каждый член нижнего ряда всегда больше соседа сверху. Таким образом, нижний ряд так же расходится (иными словами "сумма его еще больше уходит в бесконечность").

Постойте! Мы, по-моему, рассмотрели всю числовую ось! Отрицательные числа, ноль, числа между 0 и 1, саму 1 и всё, что больше неё. Вроде бы, тот график, который мы нарисовали выше — и есть окончательный вид дзета- функции Римана.

Но не тут-то было! Гениальность Римана в том, что он расширил её область определения с действительных на комплексные числа и получил уже совсем другой результат, который и стал содержанием гипотезы Римана! Но это — уже совсем другая история, которую я расскажу немного позже! Пишите в комментариях, чтобы исключить непонимание на этом этапе!

Статья: 7 математических задач тысячелетия

***************************************************************************

ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

*****************************************************************************

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: