Уравнения в целых или натуральных числах — это жутко красивая и занимательная вещь. Сегодня я хочу предложить Вам решить такую необычную задачу:
Необходимо найти все натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению. Задача не потребует никаких специальных знаний, выходящих за уровень 9 класса
Итак, прежде всего применим свойство степеней и преобразуем правую часть:
На самом деле просто удобнее работать, избавившись от степеней.
После простых преобразований подумаем над выражением. Очевидно, что значения m=n=1 не подходят, ведь в сумме тогда будет два. А вот значения m=n=2 подходят!
Но это еще не всё. Необходимо доказать, что и при больших значениях равенство выполняться не будет. Делается это просто и красиво:
Если m≥3, тогда мы можем записать неравенство, которое при любых других n, кроме n=1, не выполняется. Но а этом случае не выполняется уже исходное равенство.
Строго говоря, необходимо проверить и для n≥3, но мы же понимаем, что получится то же самое. Как говорят математики "без потери общности" можно рассмотреть здесь только одну переменную. Осталось вернуться к исходным переменным:
Решение очевидно: натуральных чисел, которые при возведении в натуральную степень дают 2 больше нет. Спасибо за внимание! Любите математику!
- Читайте про классную задачу из вступительных экзаменов в Оксфорд.
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
