Совершенные числа

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Замечательные пределы — далеко не единственные математические конструкты с изящным и даже романтичным названием. Сегодня поговорим о совершенных числах: в чем их особенность, как их находить и какие загадки они до сих пор таят в себе.

Источник: https://i.sunhome.ru/religion/189/muzhskaya-i-zhenskaya-energiya.orig.jpg

Что такое совершенные числа и каковы их свойства?

Во-первых, совершенные числа принадлежат множеству натуральных чисел (кстати, вот краткий курс введения в теорию множеств, где очень доступно рассмотрены основные вопросы).

Во-вторых, с увеличением чисел совершенных среди них становится всё меньше.

В-третьих, неизвестно, конечно ли множество совершенных чисел. Как, скажете Вы, можно говорить о конечности какого-либо количества чисел, ведь число чисел бесконечно? Но не всё так просто, ответ на этот вопрос даёт теория множеств. Кстати, в своем блоге я рассказываю про этот раздел математики с самых азов.

В-четвертых, главное свойство совершенных чисел в том, что они равны сумме своих делителей.

Давайте посмотрим на самых "маленьких" представителей совершенных чисел.

6, 28, 496, 8128 — первые четыре представителя, уже десятое по счету совершенное число имеет 54 (!!!) значащих цифры.

Например, 6 делится на свои делители 1, 2 и 3, 28 делится на 14, 7, 4, 2 и 1. Легко проверить четвертое свойство: просто сложите делители!

На какие размышления не наводят числа 6 и 28 ? Американский математик-любитель Мартин Гарднер заметил, что Земля сотворена за 6 дней, а за 28 дней обновляется Луна. Ну как не подтверждения совершенства? (хотя лично я в это не верю)

Открыл главное свойство совершенные числа Евклид: он показал, что, если число 2^p-1 — простое, то число 2^(p-1)*(2^p-1) — совершенное и четное. Например, для простого числа 7, получим

2^p-1=7

p=3

2^(3-1)*(2^3-1)=4 *7 = 28

Таким образом, число 28 соответствует простому числу 7. В начале 20 века были найдены еще три совершенных числа (соответствующие простым числам — 89, 107 и 127). Для понимания: чтобы вычислить совершенное число, необходимо (вспомним, что в начале 20 века ЭВМ не было) обладать быстрым алгоритмом поиска простых чисел, чтобы наконец-то найти среди них такое, что 2^p-1={простое число}. А такие простые числа, как Вы уже догадались, попадаются ОЧЕНЬ редко.

К счастью, проверять вручную все делители огромного числа нет необходимости. Еще в 18 веке автор самой красивой формулы в математике — Леонард Эйлер — доказал, что все четные совершенные числа имеют форму, предсказанную Эвклидом.

Обратите внимание на "тонкость" формулировки: о существования нечетных совершенных чисел ничего не сказано. Как показывают последние исследования, если нечетное совершенное число существует, то оно больше 10^1500 степени.

Т.е. находится где-то между квингентиллионом и квадрингентиллионом

В 2019 году известно всего 51 (!!!) совершенное число.

Парочка свойств совершенных чисел

1) Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1. Пример:

8128 ->8+1+2+8=19 — >1+9=10 — > 1=0 =1

2) Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Пример:

8128 = 3375 + 2197+ 1331 + 729 + 343 + 125 + 27 + 1 — кубы нечетных чисел от 1 до 15.

Зачем необходимо тратить огромные вычислительные мощности для вычисления совершенных чисел? Подискутируем в комментариях!

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

Список материалов для начинающего математика:

  • Как выглядели цифры 900 лет назад?
  • Зачем строителю египетский треугольник?
  • Как считать на пальцах до 60 ?
  • Самая красивая формула в мире математики.
  • 2+2 =5 с точки зрения математики.
  • Задачка про сосиски.
  • Помните теорему Виета?
  • Когда случайное не случайно: теорема Чебышева.
  • Решаю ЕГЭ по математике (часть А).
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: