Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Про натуральные, целые и рациональные числа я уже писал в этом материале (кстати, еще есть статья про трансцендентные). Однако до этого момента мы, в основном, говорили о конкретных свойствах, позволяющих отнести число к какому-либо классу. Сегодня же мы проделаем что-то необычное: а именно сложим все натуральные числа и получим невероятный результат. Поехали!
Источник: http://www.uralstudent.ru/i/uploads/Article/2308550/p/thinkstockphotos-157230867.jpg
Постановка задачи
Итак, имеем бесконечный ряд натуральных чисел :
В первую очередь, чтобы найти его сумму необходимо каким-либо образом её обозначить. Пусть:
Строго говоря, это числовой ряд расходится (т.е. имеет бесконечную сумму), но не всё так однозначно!
Чтобы подобраться к вычислению, математики решили применить еще один известный числовой ряд — знакочередующийся, состоящий тоже из натуральных чисел:
Наша задача состоит в том, чтобы привести первый ряд к ряду второму. Для этого заметим, что четные члены рядов отличаются на определенную величину друг от друга:
Таким образом, два представленных ряда отличаются на величину:
Что как легко заметить, равняется ряду S, умноженному на четыре
Теперь делаем главное преобразование: вычитаем из S его учетверенное значение:
Второе замечательное преобразование начинается с того, что мы рассматриваем следующий ряд:
Это выражение вывел Эйлер
Как видно, если положить х=1, то мы получим тот же знакочередующийся ряд, который стоит справа в выражении выше.
Тогда имеем:
Таким образом, формальная математика показывает нам, что сумма натуральных чисел равняется отрицательному рациональному число! Полученный результат, конечно, расходится с житейским пониманием суммы, однако нашел своё применение в теории струн!
Кстати, вот еще пример совершенно безумной математической конструкции, которая, тем не менее, нашла своё практическое приложение!
*******************************************
Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
******************************************
