Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уже недавно начинал Вам рассказывать о теории групп (статья), однако там я действовал исключительно с алгебраической позиции, игнорируя более наглядную геометрическую интерпретацию.
Андре Вейль — один из апологетов "чистой" математики, член знаменитой группы Николя Бурбаки. Источник: https://i.jauns.lv/o/2018/05/16/1420446.jpg
Сегодня же хочу начать заполнять этот пробел. Предлагаю Вам взглянуть на одну из простейших фигур — равносторонний треугольник, который содержит в себе основания для целого раздела математики. Поехали!
Для начала поиграемся с треугольником: а именно зададим некую операцию R, под которой будем понимать поворот на 120 градусов относительно центра треугольника, совпадающем с точкой пересечения высот (медиан, биссектрис):
Для того, чтобы не запутаться пронумеруем вершины и будет осуществлять их отсчет сверху против часовой стрелки. Таким образом поворот R переведет треугольник из состояния 1-2-3 в состояние 3-1-2. Едем дальше.
Еще одной операцией, которую мы можем определить для треугольника, является симметрия S. Выбрав ось симметрии, например, совпадающую с высотой, проведенной из вершины 1 получим такой результат:
Переход 1-2-3 в 1-3-2
В отличие от других преобразований с треугольником (можно было бы перемещать вершины, тем самым изменяя длины сторон и углы), операции симметрии S и поворота R оставляют треугольник неизменным. В математике принято такие операции называть инвариантами.
Следующий шаг — выполнить операции одна за другой. Например, выполним сначала поворот, а затем симметрию:
Переход 1-2-3 в 3-1-2, а затем в 3-2-1
Композицию операций запишем как SR и читать её будем справа налево. Не лишним, однако, будет заметить, что SR эквивалентно операции симметрии, если провернуть её относительно вершины 2:
Переход 1-2-3 в 3-2-1. Сравните с предыдущим рисунком
А давайте попробуем сначала выполнить симметрию, а затем поворот? Думаете, результат не изменится? Как бы не так:
Опять переходы совпадают!
Оказывается, комбинация RS — это тоже симметрия, только относительно уже вершины 3. Раз уж начали комбинировать операции, стоит понять, что будет, если сделать операцию R два и три раза:
Повернув треугольник три раза мы получим тот же порядок вершин. Операция, которая не изменяет порядок вершин треугольника называется тождественным преобразованием I.
Такого же результата можно добиться, если выполнить два раза операцию симметрии
Таким образом, поигравшись с треугольником мы определили все способы поменять порядок следования вершин треугольника, не изменяя его самого. А что, если сначала применить поворот R, а затем симметрию RS или наоборот? Почему и как описанные нами абстрактные свойства составляют основу теории групп? Поговорим об этом в одном из следующих материалов, ведь мы уже на пороге просветления.
<————————ПРОДОЛЖЕНИЕ СТАТЬИ——————————>
Спасибо за внимание! Не переставайте узнавать новое и тянуться к знаниям, даже если в этом нет сиюминутной практической пользы.
