Удивительный союз советского математика и американки, который разрешил вековую проблему математики

Каждый год 8 декабря Джулия Робинсон задувала свечи на праздничном торте и загадывала одно и то же желание: когда-нибудь она узнает ответ на 10-ю задачу Гильберта.

"Я чувствовала, что не смогу умереть, не зная ответа, — говорила она сестре".

В начале 1970 года, всего через пару месяцев после своего 50-летия, желание Джулии Робинсон исполнилось. Советский математик Юрий Матиясевич объявил , что он решил эту вековую задачу, одну из 23, предложенных в 1900 году знаменитым немецким математиком Давидом Гильбертом.

Матиясевичу было 22 года, и он родился примерно в то время, когда Робинсон начинала размышлять над 10-й проблемой. Хотя они еще не встречались, она написала Матиясевичу вскоре после того, как узнала о его решении:

Юрий Владимирович Матиясевич. Источник: https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/121/yuri_matiyasevich._portrait_1969.jpg

“Мне особенно приятно думать, что, когда я впервые сделала это предположение, вы были ребенком, и мне просто нужно было ждать, когда вы вырастете!”

Гипотеза, на которую выше ссылалась Робинсон, была одним из ее вкладов в решение 10-й задачи Гильберта. Матиясевич решил головоломку, но Робинсон и двум другим американским математикам также принадлежал значительный вклад в победу.

Несмотря на три недели, которые обычно требовались для того, чтобы обменяться письмами, Робинсон и Матиясевич начали работать вместе уже осенью 1970 года.

Джулия Робинсон. Несмотря на свои достижения, Робинсон не любила быть в центре внимания. Немного удалось почерпнуть лишь из небольшой автобиографии, записанной сестрой Джулии на исходе жизни. Источник: https://pbs.twimg.com/media/DQjZ7HgUEAAJAq1.jpg

“Имя Джулии Робинсон не может быть отделено от 10-й задачи Гильберта”, — писал Матиясевич в статье об их сотрудничестве.

Робинсон была первой женщиной, избранной в математическую секцию Национальной академии наук, первой женщиной, ставшей президентом Американского математического общества.

Робинсон никогда не считала себя выдающейся личностью. Размышляя о своей жизни, она сосредоточилась на терпении, которое так хорошо служило ей как математику, и которое она частично объясняла периодом сильной изоляции в детстве. В возрасте 9 лет, живя со своей семьей в Сан-Диего, она заболела скарлатиной, а затем ревматизмом.

С диагнозом скарлатина, а затем ревматизм в возрасте 9 лет Джулия жила вдали от дома с медсестрой. На фото выше — редкий визит домой.

Пенициллин был только что открыт, но еще не был доступен для лечения. Вместо этого она целый год жила в доме медсестры, пропустив целых два года в школе.

Даже после того, как она вернулась к своей семье, поступила в колледж и вышла замуж, осложнения от ревматической лихорадки привели к хроническим проблемам со здоровьем, включая неспособность иметь детей. После того, как первая беременность закончилась выкидышем, врачи сказали ей, что следующая попытка может закончиться фатально. Семьи, о которой она так мечтала, у неё уже быть не могло.

10-я проблема

Вопросы, которые Гильберт озвучил на математическом конгрессе в 1900 году, определили курс математических исследований в течение следующего столетия, охватывали множество математических дисциплин: от логических основ различных отраслей математики до проблем, связанных с теорией чисел или геометрией.

Оказалось, что 10-я проблема — это глубокий вопрос об ограниченности математических знаний, хотя изначально она выглядела как более простая проблема в теории чисел. Задача касалось т.н. диофантовых уравнений, названных в честь Диофанта Александрийского, древнегреческого математика третьего века до н.э. , который изучал уравнения такого вида в своем трактате "Арифметика".

Диофантово уравнение — это уравнение с любым числом переменных и целыми коэффициентами.

Все о целых числах

Три круга на рисунке ниже представляют собой диофантовы уравнения x^2+y^2=1 (черный), x^2+y^2=2 (синий) и x^2+y^2=25 (оранжевый). Все три имеют целочисленные решения (помеченные черными точками там, где круги пересекают пересечения линий сетки).

Диофантовы уравнений включают в себя как простые линейные уравнения, такие как 5х+у=7, так и такие, которые нельзя пока решить даже с помощью компьютеров.

Больше всего математиков интересует, имеют ли диофантовы уравнения целые решения. Например, пифагорейские тройки — наборы чисел, таких как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, — являются решениями уравнения a^2+b^2=c^2. Некоторые диофантовы уравнения имеют целочисленные решения, а некоторые-нет.

В то время как a^2+b^2=c^2 имеет бесконечно много целочисленных решений, аналогичное уравнение a^3+b^3=c^3 не имеет ни одного (за исключением тривиальных решений с нулями).

Если доказано, что диофантово уравнение имеет целые решения, всё что нужно — это запастись терпением и вычислительными мощностями, ведь рано или поздно ответ может быть найден. Однако в обратном случае можно потратить огромное количество времени, не зная, что надежды найти ответ просто не существует. Яркий пример таких диофантовых уравнений — x^3+y^3+z^3=k, где k-положительное целое число (например, 1, 2, 3 …).

Суммы кубов

Более века математики искали его целочисленные решения. По состоянию на 1955 год решения были найдены для 69 чисел (синих), равных или менее 100, а еще 22 (красных), как известно, не имеют решений. Поиск решений для оставшихся девяти чисел закончился только в 2019 году.

Последним в списке стало число 42 — знаменитый ответ на смысл жизни во Вселенной

В своей 10-й задаче Гильберт поставил вопрос о том, существует ли алгоритм, дающий ответ " да " или "нет" на вопрос о наличии целых решений диофантова уравнения.

Кажется, что 10-ая проблема и связанные с ней вопросы — это чистой воды игра с числами, а её решение не имеет конкретного практического применения. Однако специалисты знают, что такие исследования глубоко связаны с теоретической информатикой и пределами возможностей компьютерных программы.

Непознаваемость

Интерес Робинсона к 10-й задаче Гильберта возник довольно рано. Она вышла замуж за Рафаэля Робинсона — математика из Калифорнийского университета в Беркли вскоре после окончания университета со степенью бакалавра математики.

Как и в случае с Эмми Нётер, Робинсон не имела официальной работы (типичная история для США середины 20 века). После получения докторской степени, изучая математику в 1948 году в Калифорнийском университете в Беркли, она несколько лет работала в промышленности и добровольно участвовала в президентских кампаниях кандидата от Демократической партии Адлая Стивенсона. Она также работала неофициальным сотрудником математического факультета Калифорнийского университета в Беркли, используя кабинет своего мужа и время от времени проводя занятия.

Хотя у нее не было официальной преподавательской должности, она публиковалась в математических журналах, как лично, так и с коллегами, а также выступала на конференциях, частенько приезжая на них на велосипеде. Джулия стала заядлой велосипедисткой после операции на сердце, почувствовав силы заниматься спортом после многих лет постоянной одышки.

Вскоре после получения степени бакалавра в Калифорнийском университете в Беркли Джулия вышла замуж за математика Рафаэля Робинсона. Пара рядом с их первым домом.

Только когда она была избрана в Национальную академию наук в 1976 году, Университет Беркли сделал Джулию полноправным профессором.

Робинсон пишет про это: “Справедливости ради в университете должны понимать, что из-за моего здоровья, даже после операции на сердце, я не смогла бы нести полную учебную нагрузку.”

Вскоре после того, как она получила докторскую степень, ее руководитель Альфред Тарский рассказал о 10-ой проблеме мужу Рафаэлю, который, в свою очередь, сообщил об этом супруге.

Конкретная подзадача заключалась в поиске т.н. диофантовых множеств — групп целых чисел, которые при замене одной переменной в некотором диофантовом уравнении допускали целые решения в других переменных.

Рассмотрим уравнение c−x^2=0, которое имеет целые решения для x только тогда, когда c является полным квадратом. Таким образом, полные квадраты образуют диофантово множество.

Требовалось определить, образуют ли степени двойки диофантово множество. Работая над этим вопросом почти 10 лет, она и протоптала тропинку к 10-й проблеме.

В это время в СССР Матиясевич, еще будучи студентом, пытался решить 10-ю задачу Гильберта, но отказался от нее примерно в 1969 году. Но тут ему на глаза попалась одна из статей Робинсон:.

“Где-то на математических небесах должен был существовать бог или богиня математики, которая не позволила бы мне не прочитать новую статью Робинсон”, — писал он.

Всего пять страниц Джулии об относительном росте решений некоторых диофантовых уравнений в двух переменных сразу же зажгли в нём новые идеи.

“Это такая романтическая вещь — в широком смысле слова романтическая — что мы четверо, такие разные люди с разным прошлым, все вместе создали эту работу”, — сказал Мартин Дэвис, который вместе с Робинсон и Хилари Патнэмом и написали ту судьбоносную статью.

Наконец, было показано, что не существует универсального алгоритма, позволяющего определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленное решение.

Но это еще не конец истории. Опираясь на работу Робинсон и ее коллег, математики продолжают исследовать границу между познаваемостью и непознаваемостью.

“Ее работа по-прежнему очень актуальна сегодня”, — говорит Кирстен Айзентрегер из Пенсильванского университета, чьи исследования связаны с 10-й проблемой.

Если бы Робинсон все еще была жива сейчас, о какой проблеме она думала бы, задувая свечи? Тот факт, что нет общего алгоритма для всех диофантовых уравнений, оставляет открытыми многие мучительные вопросы. Например, существует ли алгоритм для диофантовых уравнений определенной формы, скажем, многомерных кубических уравнений?

Джулия Робинсон (изображенная здесь за пару недель до своей смерти) помогла ответить на один из величайших математических вопросов 20-го века.

Математики также изучают, что произойдет, если изменить типы решений, которые ищут для диофантовых уравнений. Например, если вместо целых искать рациональные решения. Будет ли существовать для них универсальный алгоритм?

В 1984 году во время своего пребывания на посту президента Американского математического общества, Робинсон диагностировали лейкемию. Во время ремиссии следующей весной, катаясь на велосипеде с сестрой, Робинсон решила, что её сестра Джулия Рид запишет краткую историю ее жизни, “Автобиографию Джулии Робинсон.” Через несколько недель рак вернулся. Рид закончила писать отчет о жизни Робинсона, когда здоровье ее сестры ухудшилось. Робинсон умерла 30 июля 1985 года в возрасте 65 лет.

“На самом деле я математик”, — пишет Рид от имени Робинсон на заключительной странице. — Вместо того, чтобы меня запомнили как женщину, я предпочла бы, чтобы меня запомнили, как и положено математику, просто за те теоремы, которые я доказала, и за проблемы, которые я решила.”

Читайте статьи из цикла "Основы математического мироздания":

  • Аксиома непрерывности
  • Что такое порядок ?
  • Понятие фактормножества
  • Дедекиндово сечение
  • Какой бывает бесконечность ?

TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: