Унарные операции над множествами. Часть 4. Всё проще, чем Вы думаете!

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Внимание: важная информация перед прочтением!

Если Вы новичок в теории множеств, ознакомьтесь, пожалуйста, со следующими материалами канала:

  • Часть 1. Изучаем топологию или почему человек — это шар с ручками?
  • Часть 2. Определения множества и подмножества.
  • Часть 3. Бинарные операции над множествами.

В ходе подготовки к изучению математической топологии мы уже рассмотрели, основные понятия теории множеств , а также бинарные операции .

Напомню, что бинарные операции отождествляют для двух аргументов одно единственное значения. В контексте рассматриваемого материала к ним относятся: объединение, пересечение, разность (симметричная разность) и декартово произведение множеств. Теперь же обратимся к операциям унарным, т.е. предполагающим один аргумент на входе и один единственный результат.

Первая из унарных операций – это дополнение множества, и она тесно связана операцией разности. Дополнение определяется следующим образом:

Три горизонтальные черты означают «тождественно» (дополнение можно обозначать двумя способами).

Выражение читается следующим образом: дополнение множества А содержит такие x, которые не принадлежат А. Когда говорят о дополнении отдельного множества оперируют таким понятием как универсальное множество (универсум).

В разных разделах математики универсум может различаться: так, в элементарной арифметике – это будет множество целых чисел. Тогда дополнением множества А= {-1,3,5} будет множество B, включающее в себя все остальные целые числа.

У универсального множества есть ряд свойств. Прежде чем перейти к ним, давайте представим, что мы изучаем ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО цифры и оперируем ТОЛЬКО объектами, входящими в универсальное множество U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}. Т.е. буквально наш раздел математики ВООБЩЕ больше не рассматривает других цифр (может быть, так понятнее). Итак, свойства:

1) Все объекты входят в универсальное множество. Действительно, мы не знаем цифр, отличающихся от нами изучаемых.

2) Любое множество является подмножеством универсального. Возьмем множество B={1,2,5}. Оно является подмножеством универсума, впрочем, как и любое другое множество цифр.

3) Объединение универсального множества с любым множеством является универсальным множеством. Напомню, что операция объединения сопоставляет двум множествам другое множество, в которое входят элементы обоих. Тогда, например, объединение множества B={1,2,5} и универсального множества U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} всё так же равно U.

4) Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству. Возьмем множество B={1,2,3,5}, его дополнение относительно универсума равно {4,6,7,8,9,0}. Тогда объединение множества В и его дополнения равно универсуму.

5) Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. Опять же, возьмем множество B={1,2,3,5}. Напомню, пересечение множеств сопоставляет двум множествам только те элементы, которые принадлежат обоим множествам. Таким образом, если сравнить множество B и U, обоим множествам будут принадлежать элементы {1,2,3,5}, т.е. входящие в B.

6) Разность любого множества и универсального равно пустому множеству. Напомню, что в разности множеств важен порядок аргументов. Пусть B={1,2,3,5}. Разность множеств сопоставляет двум множествам те элементы, которые есть в первом, но нет во втором множествах. Так как все элементы множества B входят в U, разность представляет собой пустое множество.

7) Дополнение универсального множества есть пустое множество (см. определение дополнения выше по тексту).

Итак, подразумевается, что это универсум включает в себя не только А, но и вообще все объекты и все множества. Тогда дополнение можно определить следующим образом:

Таким образом дополнение – с небольшой поправкой является как бинарной, так и унарной операцией.

Важно свойство дополнения в том, что оно является инволюцией, т.е. дополнение от дополнения множества равно самому множеству (проверьте сами!)

Еще одной унарной операцией является булеан множества. По определению булеан – это множество всех подмножеств данного множества (включая пустое множество). Для множества А булеан обозначается P(A). Например, вот хороший пример булеана для понимания. Пусть дано множество А={1,2,3}, тогда булеан будет состоять из таких подмножеств:

Количество этих подмножеств называется мощностью конечного булеана и вычисляется по формуле 2^n, где n – количество элементов множества. Тогда P(A) = 8.

Булеан часто применяется в обычной жизни, но мы этого не замечаем. Например, когда Вы приходите в магазин, Вы выбираете подмножества из множества всех товаров, представленных в супермаркете. Выбрав для посещения бакалею, вино-водочный отдел и кулинарию, Вы таким образом выберите подмножества всех отделов супермаркете.

На этом всё. Если Вы ознакомились с прошлыми моими материалами по теории множеств, можно считать, что ознакомительный курс для Вас закончен. Остались только два жизненно важных вопроса: законы де Моргана (там же познакомимся с диаграммами Эйлера-Венна), а также аппарат отображения множеств, критически важный для дальнейшего изучения математической топологии.

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ! Этим Вы максимально мотивируете меня на создание интересного и познавательного контента. Ведь, если математика не для всех, то не значит, что она не для Вас конкретно!

Курс "Введение в математическую топологию"

  • Часть 1. Изучаем топологию или почему человек — это шар с ручками?
  • Часть 2. Определения множества и подмножества.
  • Часть 3. Бинарные операции над множествами.
  • Часть 4. Унарные операции над множествами
  • Часть 5. Законы де Моргана и диаграммы Эйлера-Венна
  • Часть 6. Отображение множеств

Список материалов для начинающего математика:

  • Как выглядели цифры 900 лет назад?
  • Зачем строителю египетский треугольник?
  • Как считать на пальцах до 60 ?
  • Самая красивая формула в мире математики.
  • 2+2 =5 с точки зрения математики.
  • Задачка про сосиски.
  • Помните теорему Виета?
  • Когда случайное не случайно: теорема Чебышева.
  • Решаю ЕГЭ по математике (часть А).
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: