Важнейшее понятие алгебры — группа. Настолько простое, насколько это возможно

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Мало какая область математики может похвастаться такой, с одной стороны, тривиальной простотой, а с другой — всеобщностью применения далеко за пределами царицы наук. Речь идет о теории групп, изучающей множества с определенными на них математическими операциями. Разберемся же, что скрывается под понятием "группа" в общей алгебре. Поехали!

Призываю всех прочесть этот материал до конца. Вам точно понравится его простая математическая стройность. Кроме того, в нём нет ничего сложного для понимания, хотя для 70 % людей это будет новым знанием.

Эварист Галуа — один из создателей теории групп. Источник: https://ic.pics.livejournal.com/kukina_kat/15399163/2072943/2072943_original.jpg

Определение (с пояснениями для самых маленьких)

Итак, группа — это множество элементов с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией, имеющей нейтральный элемент, причем каждый элемент группы имеет обратный элемент. Теперь по порядку:

  • ассоциативная операция — знакомое слово из школьной программы. Таким свойством, например, обладают сложение, где (a + b) + c = a + (b+c) и умножение (a * b) * c = a * (b * c), т.е. порядок скобок не влияет на результат. От типа операции зависит название группы, например, группа по сложению, группа по умножению. Всё просто.
  • бинарная операция — значит имеющая в составе два аргумента. Сложение и умножение — как раз такие, а вот например операция вычисления факториала n! — унарная.
  • нейтральный элемент — т.е. такой элемент, при выполнении операции с которым аргумент не меняется. Для умножения — это единица, ведь а*1=a, для сложения — 0, потому что а + 0 = а.
  • обратный элемент — для операции сложения обратный элемент называется противоположным, т.е. просто имеет знак "-", т.е a + a = 0. Для умножения называется обратным числом а⁻¹ , т.е. таким, что а *а⁻¹ = 1.

Еще одно важное требование — все производимые в множестве, которое претендует на высокое звание "группа", бинарные операции не должны выводить результат за пределы это множества. На примере станет понятнее. Да-да-да, для тех, кто знает чуточку больше, скажу что бинарная операция отображает множество в себя.

Ну вот и всё, всего 4 простейших термина, и в наших руках мощнейший инструмент для изучения окружающего мира!

Применение теории групп не ограничивается абстрактной математикой. Группы стали незаменимы там, где проявляются любые свойства симметрии — в кристаллографии и квантовой механике, специальной теории относительности и электромагнетизме. Фактически, теория групп — одно из универсальных орудий познания нашего симметричного мира.

Давайте разберем группы на конкретных примерах. Для понимания потребуется уровень знания математики 6-го класса. Дерзайте!

Любите математику! Спасибо за внимание!

  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: