Всегда ли можно разрезать многоугольник и собрать из него другой? Теорема Бойяи-Гервина

Хочу рассказать Вам о красивом геометрическом утверждении, которое при первой прикидке выглядит сложным, но на самом деле оказывается приятной прогулкой и мощной абстрактной теоремой.

Теорема Бойяи-Гервина утверждает, что два любых многоугольника с равной площадью являются равносоставленными. Т.е. один из них можно разрезать на несколько фигур и составить из него другой.

Венгерский математик и поэт Фаркаш Бойяи. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Bolyai_Farkas_1897-50.jpg/397px-Bolyai_Farkas_1897-50.jpg

Заметьте, не важно сколько углов, главное — одинаковая площадь!

Теорема доказывается исключительно наглядно. Первое, что надо понять, — это свойство эквивалентности — если построить из одного многоугольника второй, то и из второго есть способ вернуться обратно. Второе — транзитивность, что значит, что если из первого можно построить третий, и из второго, разрезая и складывая, можно построить третий, то и второй можно составить из первого, и наоборот.

Самый простой пример транзитивности в геометрии. Источник: http://znakka4estva.ru/uploads/category_items/sources/507cdbc7a65e5ac0fd028501960070c5.jpg

Разобрались? Теперь возьмем произвольный многоугольник А. Очевидно, что его можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники.

Далее мы берем каждые получившиеся треугольники и делаем из них параллелограммы таким образом:

И теперь самый важный момент: сплющивая параллелограмм мы можем задаться условием сделать из него фигуру с любой, наперед заданной, высотой. Например, вот так:

А теперь последний шаг! Мы задались высотой затем, чтобы составить из параллелограмма уже прямоугольник с такой же стороной:

Вернемся назад и повторим для каждого треугольника исходной фигуры А. Теперь, сложив их все, мы создали прямоугольник С с нужной нам высотой. Состыковав их мы так же получили прямоугольник с известной нам стороной.

Теперь возьмем равный по площади многоугольник B, из которого мы можем сделать тот же самый прямоугольник С !

На самом деле, важнейший шаг — задаться одинаковой высотой параллелограмма в шаге 3, которая и определит и в первом и во втором случае одну и ту же сторону прямоугольника С, а значит и одну и ту же площадь, ведь изначальные многоугольники равновеликие!

Таким образом, мы из разных многоугольников А и B получили один и тот же прямоугольник С, а значит по свойству транзитивности, можно получить и из любого по форме многоугольника А (только равновеликий) многоугольник B. Теорема доказана! Кстати, в трехмерном пространстве такое не всегда возможно! Читайте про третью проблему Гильберта, если будет интересно. Спасибо за внимание!

Читайте также:

  • Как в США число π чуть не стало равным 3,2 ?
  • Что такое трансцендентные числа ?
  • TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: