Вспомните операции над множествами? Введение в математическую топологию на простых примерах. Часть 3.

В прошлом материале (прочтите перед этим) мы рассмотрели основные определения теории множеств: подмножества, пустое множество, описали несколько примеров. Теперь пойдем дальше: изучим основные бинарные операции над множествами. Бинарные — потому, что определяют некоторым двум аргументам только один результат.

1. Операция объединения множеств

Операция объединения выглядит следующим образом:

Галочка — это логическое ИЛИ (дизъюнкция)

Читается так: Объединение множеств А и В эквивалентно множеству, состоящему из таких элементов х, которые принадлежат или А или В. Например, даны множества А ={1,3,5} и множество B={2,4,6}, тогда множество С, полученное объединением исходных множеств определено как С={1,2,3,4,5,6}. Важные свойства объединения множеств:

2. Операция пересечения множеств

Читается так: Объединение множеств А и В эквивалентно множеству, состоящему из таких элементов х, которые принадлежат и А и В. Например, даны множества А ={1,2,3,5,6} и множество B={2,4,6}, тогда множество С, полученное пересечением исходных множеств определено как С={2,6}. Все ключевые свойств пересечения повторяют аналогичные для объединения, отдельно хотелось бы выделить только одно:

Пересечение любого множества с пустым множеством равно пустому множеству. Вспоминаем прошлую статью: пустое множество является подмножеством любого множества.

3. Операция разности между множествами

Результатом этой операции является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.

Пример: даны множества А ={1,2,3,5,6} и множество B={2,4,6} , тогда множество AB = {1,3,5}, BA={4}. Как видно из примера, операции отнюдь не обратные. Кроме того, над множествами определена операция D

Все просто: множество, полученное в результате операции "симметричная разность" равно объединению разностей множеств А и В, В и А. Например, даны множества А ={1,2,3,5,6} и множество B={2,4,6} , тогда множество А (симметричная разность) B = {1,3,4,5}

4. Операция прямого произведения множеств

Результатом прямого произведения множеств А и В является набор всех возможных упорядоченных пар элементов, принадлежащих этим множествам. Например, даны множества А ={1,2} и множество B={3,4} , тогда множество АхВ = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. Элементы в скобках называют соответственно первой и второй координатой (компонентой) пары.

На этом всё. В следующей статье рассмотрим унарные операции над множествами и поговорим о ключевом для дальнейшего изучения вопросе — отображении множеств.