Многие математические задачи, которые безуспешно пытаются решить, зачастую, формулируются невероятно просто. Именно такую задачу поставил еще в 17 веке великий Исаак Ньютон.
Речь идет о том, сколько шаров одинакового радиуса в трехмерном пространстве можно прижать друг к другу, не деформируя?
Несмотря на то, что он не знал доказательства, его гипотеза, что таких шаров может быть максимум 12, была абсолютно верной, однако обосновать её смогли лишь в 20 веке. Поговорим подробнее об этой головоломке, которой, как и многим абстрактным математическим конструкциям, нашлось применение и на практике. Поехали!
Источник: https://static.vecer.com/images/slike/2019/10/16/o_6979841_1024.jpg
Немного истории
У истоков этой задачи стоял Иоганн Кеплер, который впервые столкнулся с ней, когда пытался понять, как наиболее компактно складировать пушечные ядра. Однако, популярной она стала после спора Ньютона и Девида Грегори — еще одного сильного математика 17 века. Грегори наперекор всем утверждал, что знает способ, как расположить еще один, дополнительный, 13-ый шар. Ньютон был категорически против, но не имел строгих математических аргументов. Так этот спор и затянулся на две с лишним сотни лет. Но обо всём по порядку.
Начнем с плоскости
Нарисуем окружность единичного радиуса. Ответим, сколько таких же окружностей можно прижать к ней ?
Ах да, здесь показан двухмерный случай. В одномерном речь про отрезки, которых конечно, две: слева и справа.
Очевидно, что таких окружностей на плоскости всего 6, а их центры располагаются в вершинах правильного 6-угольника.
В случае с трехмерными шарами задача их упаковки решается таким образом:
Шары располагаются в вершинах правильного икосаэдра. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/1024px-Icosahedron.svg.png
В отличие от плоскости, где все окружности были упакованы "плотно", в трехмерном пространстве есть очевидные зазоры, которые и стали аргументом Грегори.
Кстати, Грегори доказал, что если разрешить менять размеры шаров всего на 2%, то получится сложить вместе целых 14 шаров!
На помощь к Ньютону математика пришла лишь в 1953 году, подтвердив его предположение о числе 12. Немного позже математики решили эту задачу для 8-ми и 24-мерных пространств. Кстати, для этой размерности число "шаров" равно 196560, а в наиболее близком к нашей реальности 4-мерном пространстве, результат в 24 шара обосновал российский математик Олег Мусин.
Практическое применение
Любимый вопрос большинства моих читателей, которых, к слову, за месяц набралось больше 300000 человек. Так вот, та их часть, что знакома с теорией помехоустойчивого кодирования, может дальше не читать, и так всё понятно.
Для остальных скажу, что эта математическая головоломка нашла применение в т.н. помехоустойчивых сферических кодах. Дело в том, что при передаче цифровых сигналов на приемной стороне стоит достаточно сложная задача отнесения зашумленного помехами сигнала к одной из "зон", в которой должно быть принято решение о декодировании тем или иным образом.
Зеленым цветом показаны сигналы, которые декодер должен отнести к известному ему алфавиту. Соотнесение происходит по принципу наименьшего расстояния.Источник: https://studfile.net/html/2706/271/html_IgGYJVfRqO.olyV/img-pxuPuk.png
"Зонами" могут быть, например, окрестности (сигнал точно не попадает в вершину из-за помех) вершин куба, когда за такт передается 3-битовая последовательность (всего 2^3 вариантов: 100, 110, …, 111). В случае со сферическими кодами могут использовать, например, 24-битное слово, которое задает, по сути, координаты точки в 24-мерном пространстве. Иными словами, чтобы гарантировано разделить сигналы на приеме, придется решать задачу не отнесения сигналов к вершинам куба, а отнесения их к плотно расположенным шарам в 24-мерном пространстве. Вот такие дела!
Читайте также про самую завораживающую математическую конструкцию — фракталы.
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
