Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Только вчера я выпустил статью, посвященную гипотезе одинокого бегуна, а сегодня уже продолжаю марафон классических математических задач, на этот раз задачей об иголке.
Источник: http://photos.lifeisphoto.ru/57/0/572346.jpg
Но не той, которую Бюффон бросал на расчерченную поверхность, чтобы найти число π (читайте материал), а той, которую всего лишь нужно повернуть на 180 градусов внутри фигуры минимальной площади. Решение этой задачи настолько не поддается воображению, что пропускать его нельзя. Поехали!
Итак, в качестве иголки мы берем отрезок длиной 1. Какая геометрическая фигура, в первую очередь, напрашивается, чтобы развернуть в ней иголку на 180 градусов? Конечно, это круг. Повернуть иголку можно в круге радиусом 1/2 и, соответственно, с площадью π/4.
Есть ли фигуры меньшей площади, в которых можно еще провернуть такую операцию? Конечно, первой такой фигурой является дельтоида. Смотрите на анимацию:
Дельтоида описывается окружностью малого радиуса, катающейся по внутренней стороне большой окружности, втрое большей по радиусу, чем меньшая. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Kakeya_needle.gif
Площадь дельтоиды S = 2/9πR^2, где R — радиус большой окружности. В нашем случае получаем S = 2/9π — уже меньше, чем для окружности. А что же дальше? Есть ли предел? Оказывается, есть, и он шокирует.
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/KakeyaNeedleSet3.GIF
Путем хитроумных математических построений русскому математику Абраму Безиковичу удалось построить фигуру, точнее некое счетное множество точек, которое содержит (на языке топологии "покрывает" почти всё исходное множество) единичный отрезок в любом направлении. Из этого автоматически следует, что площадь такой фигуры можно сделать произвольно малой! Вот такая вот чудесная математика. Спасибо за внимание!
