Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Наверное, самое большое заблуждение людей, не знающих математику состоит в том, что производная не нужна. В этом материале я не буду расписывать формальное определение производной: оно в рамках статьи не имеет особого значения. Однако реальную практическую задачу с удовольствием покажу, как решать. Поехали!
Условие задачи
На заводе по производству жестяных изделий происходит "оптимизация", (сарказм) в рамках которой необходимо понять, как снизить расход жести на консервные банки. Какой формы они должны быть? Какое соотношение размеров ?
В условии нет даже ни одной цифры, как же подступиться к этой задаче?
Начинаем с математической модели. Во-первых, мы же не бдуем изобретать велосипед и менять технологический цикл и делать консервные банки, например, квадратными. Так что примем, что банки останутся цилиндрообразными.
Расход жести — это площадь поверхности цилиндра (толщина пусть везде одинакова). Если обозначить через V необходимую емкость банки, то задача переформулируется следующим образом:
Найти размеры цилиндра с объемом V, чтобы площадь его поверхности была минимальна.
"Cherchez la dérivée" там, где в задаче есть слова "максимальный" или "минимальный".
Полная поверхность цилиндра состоит из площадей оснований и площади боковых стенок.
h — высота цилиндра
В этом выражении две неизвестных : радиус r и высота h. Чтобы свеcти его к одной переменной вспомним, что дан объем V, через который можно выразить, например, высоту:
Наконец, в дело вступает производная: функция есть, есть задача найти ее минимум при r > 0 (размеры банки положительные).
Вспоминаем, что производная суммы равна сумме производных:
В квадратных скобках формулы в общем виде
Для продолжения необходимо приравнять производную от площади поверхности к нулю:
В этой точке производная равна 0, а значит в ней может находиться один из экстремумов функции. Сделаем небольшой рисунок:
Таким образом, функция площади поверхности имеет минимум в указанной точке. Радиус мы нашли, осталось найти высоту цилиндра. Для этого выразим её из полученного r:
Таким образом, минимальный расход жести при фиксированном объеме банки в том случае, когда диаметр основания цилиндра равен его высоте. Если экстраполировать эти расчеты на огромное количество выпускающихся консервных банок, экономия может быть очень и очень значительной.
Помните, инструмент оптимизатора — производная, а не пила!
Источник: https://s.mediasole.ru/images/279/279212/original.jpg
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, Вы знали, что у квадратного уравнения может быть больше 2 корней ?
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
