Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Что уж говорить, решение уравнений в целых числах — это отдельный вид искусства, которому я бы выделял значительно больше времени, чем сейчас.
Сегодня я хочу показать Вам решение задачи из второго тура отбора на "всебританскую" олимпиаду, в которой, как оказалось, нет абсолютно ничего сложного.
Тем не менее, я гарантирую удовлетворение каждому, кто дочитает эту крошечную статью до конца и разберется в решении. Поехали!
Итак, необходимо найти все неотрицательные целые решения следующего уравнения:
В первую очередь необходимо перенести в правую часть одно из слагаемых, и сейчас Вы поймете, почему:
До этого момента мы имели "грубое" условие, согласно которому, а — целое, больше ноля число. Теперь у нас более "тонкое" требование. Сделаем его еще удобнее, разложив 176 на множители:
Число b должно иметь вид 11x^2, чтобы выражение под знаком радикала было целым. Без потери общности можем и число a записать в похожем виде (ведь мы могли бы на первом шаге в правую часть перенести и его).
Теперь подставляем полученные значения в исходное уравнение:
Замечательно то, что корень сокращается и получается отличное условие для (напоминаю!) неотрицательных x и y:
Остается только врукопашную провешить все возможные значения и получить ответ. Конечно, в данном случае ответы можно было бы и подобрать, числа ведь маленькие. Но что, если справа был, например, корень из 2009 ? Спасибо за внимание!
- Читайте также про способ решения квадратных уравнений, который и в голову не мог прийти в школе!
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
