Квадратное уравнения имеет 4 корня, число Пи может быть равно 4, факториал можно вычислить для нецелого аргумента — обо всё этом я писал на своём канале…Сегодня я хочу выдать Вам еще один замечательный математический этюд.
Давайте подумаем, как возвести число в 4-ю степень? Ну , например, сначала возвести в квадрат, а затем еще раз; или же возвести в 8-ю степень, а потом в степень 1/2. Ничего же противоестественного нет!
То же самое и с производной: вторую производную от функции можно получить последовательно применяя операцию дифференцирования.
Напрашивается такой вопрос: а есть ли такой оператор (назовём его А), что если его применить к функции ДВА раза, то получится обычная производная?
Оказывается, и это доказывается в курсе продвинутого математического анализа, такие операторы существуют и в самом обобщенном случае. Давайте лучше на простом примере:
Что мы сделали выше? Мы нашли обобщенную формулу производной n-ного порядка для указанной функции.
А теперь моё любимое: подставим вместо n число 1/2. Посмотрим, что получилось:
«Ну и что, скажете Вы, — это какое-то искусственное сооружение» В ответ на это я применю операцию вычисления дробной производной еще разок:
Мы получили как раз тот самый оператор A (некое правило вычисления), который при двойном применении к функции возвращает её производную. Будем называть его полупроизводной.
Естественно, никакой сложности не составит обобщить этот случай для производной порядка 1/n.
Первопроходцами применения дробной производной как обобщенного случая знакомой нам со школы операции являются математики Лопиталь, Лейбниц и Абель.
Операция — далеко не бесполезная, хотя и не имеет такого явного физического смысла как её полноценная сестра.
Дробная производная возникает в огромном количестве практических задач в метеорологии, химии, применяется при моделировании перемещения потоков жидкости, распространения сложных акустических колебаний и, конечно, на самом переднем крае науки — квантовой физике.
Конечно, рассказанное мной не претендует ни на какую математическую строгость, ведь, чтобы рассказать о дробной производной нужно знать немного больше школьного курса математики. Несмотря на это, в следующих выпусках я на очень простом языке это сделаю.
Хотите разобраться, почему полупроизводная х равна такому странному выражению? Там еще много интересного! Например, дробная производная константы отнюдь не равна нулю!
