Обратная матрица – это матрица, которая при умножении на исходную матрицу дает единичную матрицу. Для поиска обратной матрицы A^{-1} к матрице A следуйте этим шагам:
- Проверьте, что определитель матрицы A не равен нулю (\det(A) \neq 0), иначе обратной матрицы не существует.
- Составьте расширенную матрицу, добавив к матрице A единичную матрицу того же размера.
- Примените элементарные преобразования строк, чтобы привести левую часть расширенной матрицы к единичной форме, то есть A преобразуется в E, а правая часть становится обратной матрицей A^{-1}.
- Полученная правая часть и будет обратной матрицей A^{-1}.
Пример вычисления: Пусть дана матрица A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix}.
- Определитель A: \det(A) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 5 \neq 0, продолжаем.
- Расширенная матрица: \begin{bmatrix} 2 & 3 & | & 1 & 0 \ 1 & 4 & | & 0 & 1 \end{bmatrix}.
- Элементарные преобразования приводят левую часть к единичной форме: \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}.
- Получаем обратную матрицу: A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}.
Обратные матрицы применяются в решении систем линейных уравнений, вычислении преобразований координат, а также в различных областях науки, инженерии и компьютерной графике.
Подробнее о математике и её приложениях можно узнать в телеграмм-канале ‘Математика не для всех’: https://t.me/mathematics_not_for_you.»