Что такое собственные значения и векторы матрицы?
Собственные значения матрицы — это значения, для которых матрица умноженная на собственный вектор равна этому же вектору, умноженному на это значение.
Собственные векторы матрицы — это векторы, которые при умножении на матрицу остаются пропорциональными исходным векторам.
Как найти собственные значения и векторы матрицы?
Собственные значения можно найти как корни характеристического уравнения матрицы.
Собственные векторы можно найти, решив систему линейных уравнений \( (A — \lambda I)v = 0 \), где \( A \) — матрица, \( \lambda \) — собственное значение, \( I \) — единичная матрица, \( v \) — собственный вектор.
Пример вычисления:
Рассмотрим матрицу \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \). Найдем её собственные значения и векторы.
1. Характеристическое уравнение: \( \det(A — \lambda I) = 0 \)
2. Решим уравнение \( \det(A — \lambda I) = 0 \) и найдем собственные значения.
3. Для каждого собственного значения найдем собственные векторы, решив \( (A — \lambda I)v = 0 \).
Где применяются собственные значения и векторы?
Собственные значения и векторы используются в различных областях, таких как физика, экономика, компьютерная графика и многих других, например, для нахождения устойчивости системы, анализа колебаний и многих других задач.
Для более подробной информации и примеров по математике, приглашаем вас присоединиться к нашему телеграмм-каналу Математика не для всех.