Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня поговорим об одной известной математической задаче, которая носит наименование "базельской". Дело в том, что её придумал в 1689 году профессор из Базеля Якоб Бернулли, а решить смог только в 1735 году легендарный Леонард Эйлер.
А первые рассуждения о подобной задаче датируются вообще 1644 годом! Сам Бернулли говорил, что "мы будем обязаны тому, кто найдет её решение"
Сама по себе задача не имела практического значения, но, как часто это бывает, в ходе её решения были исследованы и развиты ранее не известные разделы математики, имеющий прикладное значение. Посмотрим же, что было "камнем преткновения" для математиков начала 18 века. Поехали!
Источник: https://www.vladtime.ru/uploads/posts/2016-08/1470309503_leonhard_euler2.jpg
Базельская задача
Проблема состояла в нахождении бесконечной суммы ряда обратных квадратов:
Хоть, на первый взгляд и понятно, что данная сумма будет сходиться, ведь при увеличении знаменателя каждое слагаемое будет всё больше и больше стремиться к нулю, решение этой задачи оказалось далеко не тривиальным.
Помогла Эйлеру, как это ни странно, тригонометрия, а именно известное, благодаря Ньютону, разложение синуса в бесконечную сумму:
Далее Эйлер обратился к многочленам. Посмотрите на график синуса на рисунке ниже:
Эйлер небезосновательно заключил, что синус можно записать как многочлен, корни которого мы знаем: Пи, -Пи, 2Пи, -2Пи и т.д. Гениальность Эйлера в том, как он записал это равенство:
Если Вы попробуете подставить вместо x точки, в которых синус равняется нулю (Пи, -Пи, 2Пи, -2Пи и т.д.), то всегда получите верное равенство!
Итак, синус с одной стороны равен бесконечной сумме, а с другой так же равен бесконечному произведению. Так приравняем же их!
Ниже подробнее
Пояснения к рисунку выше: Эйлер решил приравнять коэффициенты при равных степеня слева и справа. Например, рассмотрим второе слагаемое ряда слева. Коэффициент при нем равен -1/(3!) = -1/6.
Справа для простоты можно раскрыть три скобки и заметить закономерность:
Теперь понятно? Осталось приравнять:
И получить изумительно красивый ответ. Математиков 18 века он и вовсе шокировал: появление числа Пи в отрыве от геометрии было событием знаменательным!
Эйлер решил задачу для произвольных четных степеней в знаменателе, а вот на нечетных степенях остановился после долгих попыток, сказав, что "Задача представляется сложной". Настолько сложной, что и спустя столетия, она остается нерешенной.
Вот какие проблемы решали великие математики. Сегодня же некоторые всерьез вычисляют математическую формулу идеального сэндвича с беконом!
Ставьте лайк и подписывайтесь! ! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
