А потом оказалось, что он вообще был не прав. Несмотря на это, в любом треугольнике три вписанные окружности, каждая из которых одновременно касается двух других и двух сторон треугольника, называются его именем — именем Джанфранческо Мальфатти.
Джанфранческо Мальфатти (1731 — 1807) Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Gianfrancesco_Malfatti.jpg/800px-Gianfrancesco_Malfatti.jpg
Будущие окружности Мальфатти итальянский геометр начал исследовать на исходе своей жизни — в 1803 году. Он задался задачей определить максимальный объем трех цилиндрических колонн, которые можно высечь из клиновидного куска мрамора.
Перенеся свои рассуждения на плоскость, он предположил, что задача эквивалентна поиску трех вписанных в треугольник окружностей, имеющих наибольшую площадь.
Джанфранческо считал очевидным, что такие окружности должны касаться друг друга и двух других сторон треугольника.
Вариант окружностей Малфатти. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Malfatti%27s_circles.svg/1024px-Malfatti%27s_circles.svg.png
Между тем, очень скоро стало ясным, что сам принцип Малфатти не верен, что касание может быть организовано и другими способами.
Например, на рисунке справа две окружности касаются третьей, но не касаются друг друга. Есть ли преимущества перед компоновкой Малфатти? Оказывается, есть, но совсем немного больше 1 % !
Однако, есть, чему удивиться! Это результат был получен в 1930 году, т.е. больше, чем через 100 лет после постановки задачи.
Полученное решение использовало т.н. "жадный" алгоритм, согласно которому сначала в треугольник вписывается окружность максимального радиуса, затем вторая окружность вписывается в один из наименьших углов. Третья окружность вписывается одну из в оставшихся областей.
В данном случае алгоритм принимает верные в данный момент решения, выбирая минимальный вес ребер графа. Однако в целом, этот алгоритм не дает оптимального результата.
В дальнейшем было показано, что и погрешность в 1% — не конец. Оказывается, можно увеличить площадь окружностей практически в два раза, если использовать треугольники с одним небольшим острым углом. Например, такой:
А в 1967 году на предположениях Малфатти вообще был поставлен жирный крест. Оказалось, что вписанные по его принципу окружности вообще никогда не дают оптимального по площади результата.
Лучший результат, как было показано уже на исходе 20 века, всегда даёт жадный алгоритм.
Вот такая история. С другой стороны, следуя олимпийскому принципу "Главное — не победа, главное — участие" нельзя не признать значительную роль итальянского геометра в решении это задачи. Не ошибается тот, кто ничего не делает. Спасибо за внимание!
