Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Итак, квадратный корень из минус единицы. В прошлый раз мы встретились с ним в статье про особенности возведения в степень различных чисел, а также в материале про самые распространенные школьные заблуждения в математике. Кратко напомню, о чём идет речь. Поехали!
Рассмотрим квадратное уравнение
В школе такие уравнения всегда "расстраивали", ведь решения они "как бы" не имели. Однако с изучением высшей математики становилось ясно, что квадратное уравнение ОБЯЗАНО иметь корни!
Основное ограничение состояло в том, что невозможно было заставить себя работать с "запрещенной" операцией извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Леонард Эйлер обошел эти ограничения и впервые ввел обозначение √(-1) , как i — мнимой единицы. Однако, утверждать, что √(-1) = i, как многие привыкли, не стоит, потому что:
Первая строчка двусмысленна! Поэтому стоит отказаться от её употребления
Теперь поговорим, как показать мнимую единицу на плоскости и о её значимости.
Источник: https://vk.vkfaces.com/845123/v845123434/1152ae/n_r1myCeEx8.jpg
Небольшое отступление
В рамках цикла про числа, которые нас окружают, я уже написал четыре статьи:
- про натуральные, целые и рациональные числа;
- про вещественные (действительные) числа;
- про трансцендентные числа;
- про иррациональные числа.
Я не дошёл до главной конструкции — комплексных чисел. Так что пока не вышел этот материал, поверьте на слово, что все вышеперечисленные числа являются комплексными. Иными словами, 0 , 1, 1/2 , √2, i, 3+i, число Пи, число Эйлера, да вообще практически всё, что можно назвать числами в привычном нам виде, называется комплексным числом. Главное отличие — в той самой "мнимой единице".
Вещественное число — это частный случай комплексного, например 3 = 3+0i, а, например, 3i = 0 + 3i — называется чисто мнимым числом.
Таким образом, имеем следующее:
Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/02d9/00006480-60284357/img3.jpg
На плоскости комплексные числа с ненулевой мнимой частью показываются очень легко. По вертикальной оси откладывается мнимая часть, а по горизонтальной — действительная.
Im Z- imaginary — воображаемый, мнимый. Re Z — Real — действительное, вещественное
Например, число z = 2+3i, имеет действительную часть, равную +2 и мнимую равную +3. Строится всё элементарно. Одинокая мнимая единица наносится на плоскость из соображений i=0+1i.
Каждое комплексное число характеризуется модулем и аргументом.
Красным цветом обозначен модуль комплексного числа, желтым его аргумент. Иначе говоря, модуль — это длина от центра координат до точки, а аргумент — это угол поворота.
Комплексные числа — это наиважнейшая математическая абстракция, которая вышла далеко за пределы "чистой математики". Без мнимой единицы и комплексных чисел немыслимо существование электроники, систем радиосвязи, теории относительности, квантовой механики, теории упругости и многих других дисциплин.
Я полностью уверен, что важнее "фантазии", чем мнимая единица, в математике не существовало и навряд ли будет существовать! А как считаете Вы?
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про математическое программирование жизни!
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
