Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одном из прошлых материалов (пожалуйста, ознакомьтесь с ним перед чтением) я рассказывал о том, что такое расстояние, кратко объяснил, что такое метрика и привел пример привычной нам эвклидовой метрики, с помощью который каждый из Вас ориентируется в окружающем пространстве.
Источник: https://hsto.org/getpro/habr/post_images/d96/179/a3c/d96179a3c1d866fdb6df8feabfe875dd.jpg
Однако, существуют пространства, в которых метрика может задаваться по-другому, а фундаментальная константа π изменяет своё значение, при чем не надо думать, что я говорю о каких-то высших материях. Вы удивитесь, но к ним можно буквально прикоснуться в обычной жизни. Поехали!
Напомню, что метрическое пространство — это множество точек (не будем упоминать про хаусфордовость и т.д.) и заданная на нём особая функция — метрика, определение которой принципиально разрешает нам говорить о расстоянии. Задать метрику — значит написать функцию, которая удовлетворяет трём аксиомам метрики (опять-таки, читайте прошлый материал, всё очень просто)
В метрическим пространством R² расстояние определяется известной всем со школы функцией:
Перед тем, как идти дальше, напомню определение окружности:
Окружность ‑ это геометрическое место точек , удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности.
Из рисунка выше видно, что все точки, равноудаленные от данной лежат на окружности радиусом 1. Число π = 3,1416…. Пока никаких изменений.
А теперь давайте определи расстояние таким образом, как будто мы не можем перемещаться в пустоте между клеток, а только фиксированно по линиям координатной сетки:
Функция (2) удовлетворяет всем аксиомам метрики. Это легко проверить
ВНИМАНИЕ! СПАСИБО, ЧТО УКАЗАЛИ НА ОШИБКУ, ВО ВТОРОМ ПУНКТЕ так же π = 4. Объяснение ниже.
В нашем новом пространстве, чтобы дойти от точки О1 до А2 необходимо 2 "шага" (в евклидовом варианте √2), а окружность имеет вид ромба, ведь все точки на нём равноудалены от центра! После простых расчетов получаем, что число π = 4 !
Результат можно получить, вычисляя π как отношение длины окружность к диаметру. Например, расстояние от А2 до А3 равняется 2 (не можем идти по диагонали). Тогда длина ромба -16, диаметр 4. Вуаля!
Рассмотренная метрика называется "манхэттенской" или "метрикой городских кварталов". Действительно, напоминает:
Хорошо, с этой метрикой разобрались. В следующем пространстве мы вдобавок разрешим себе ходить еще и строго по диагоналям. В таком случае мы окажемся фактически на шахматной доске, а само пространство будет называться пространством шахматной доски или "чебышевским пространством":
Функция (3) так же удовлетворяет аксиомам метрики
На шахматной доске, как легко убедиться, число π, исходя из его определения, равняется 4 ! Любите математику! Спасибо за внимание!
