Введение
Циркуляция векторного поля — это важное понятие в математике и физике, которое помогает понять, как векторное поле «циркулирует» вокруг замкнутого пути или контура.
Определение
Циркуляция векторного поля \( \vec{F} \) вдоль замкнутого пути \( C \) определяется как интеграл от скалярного произведения векторного поля и дифференциала пути:
\( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \)
Пример вычисления
Рассмотрим векторное поле \( \vec{F} = 2x\hat{i} + y\hat{j} \), а контур \( C \) — это окружность радиуса \( r \) с центром в начале координат. Чтобы вычислить циркуляцию данного векторного поля вдоль контура \( C \), представим параметризацию окружности в полярных координатах:
\( \vec{r}(t) = r\cos(t)\hat{i} + r\sin(t)\hat{j} \), где \( 0 \leq t \leq 2\pi \).
Тогда \( d\vec{r} = -r\sin(t)dt\hat{i} + r\cos(t)dt\hat{j} \), и:
\( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^{2\pi} (2r\cos(t) + r\sin(t)) (-r\sin(t)dt) + (r\cos(t)) (r\cos(t)dt) \)
\( = \int_0^{2\pi} (-2r^2\cos(t)\sin(t) — r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)) dt = 0 \)
Применение
Циркуляция векторных полей широко применяется в физике, особенно в гидродинамике, электродинамике и аэродинамике, для анализа движения жидкостей, газов и зарядов в электрических и магнитных полях.
Для более глубокого понимания и других математических тем, посетите телеграмм-канал Математика не для всех.
