Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Тема, которая я хочу поднять настолько обширна, что требует не одного десятка статей. Начнем с того, что такое пятый постулат Евклида и какое значение он имел для формирования математической логики и пересмотра взглядов человека на окружающий мир. Поехали!
Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1860621/pub_5d8bab5b34808200aedfecdf_5d8bd1dfe4f39f00b1795be6/scale_1200
Труд Евклида "Начала" относится к 300 году до н.э. Так получилось, что этот труд стал единственным, с чем ассоциируется Евклид, потому что других сведений о великом геометре древности практически не сохранилось.
Определения и постулаты
На первой странице "Начал" с помощью простейших формулировок были определены основные понятия, такие как точка, линия, прямая, угол, поверхность и т.д.
- Точка — есть то, что не имеет частей.
- Линия — длина без ширины.
- Концы же линии — точки.
- Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
Однако самое важное и монументальное начинается чуть позже, а именно постулаты (в греческом языке, буквально, требования), которые Евклид начинает со слова "допустим" :
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Ограниченную прямую можно продолжать непрерывно по прямой.
- Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одно сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
Пятый постулат Евклида в оригинальной формулировке. Сотни лет математики пытались перевести пятый постулат в разряд теоремы, но безуспешно.
Пятый постулат уже на этапе формулировки значительно отличается от предыдущих тривиальных "требований". Да настолько, что даже в школьной программе его заменяют формулировкой Прокла, согласно которой "через точку, не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной:
Существуют еще десятки эквивалентных формулировок пятого постулата, например существует треугольник бесконечно большой площади, сумма углов треугольника равна 180 градусов, через каждый три точки можно провести либо прямую либо окружность. Эквивалентность означает, что все они доказуемы, если принять пятый постулат как теорему, и наоборот.
Евклид выбрал свои постулаты по очевидности и наглядности, однако, когда математики обнаружили, что через точку можно провести как бесконечное количество прямых, параллельных данной, так и ни одной, стало понятно главное: вопрос о его истинности и первоприроде просто не имеет смысла! Почему, например, его опровержение не считать истиной? Почему, например, не отвергнуть какой-то из первых постулатов?
В действительно корректность того или иного постулата зависит от объекта, который мы изучаем!
Пример итальянского геометра Эудженио Бельтрами. Пусть пространство, в котором есть объекты, ограничено кругом (его граница — называется абсолютом, и она не включена в пространство). Точки лежат внутри круга, а все прямые линии начало и конец имеют на границе круга. Возьмем точку О и прямую линию (зеленая хорда). Если соединить точку О с концами хорды, получим две параллельные прямые, т.к. по определению их концы находятся на границе круга, которая не принадлежит пространству! Пятый постулат не выполняется!
Альберт Эйнштейн по поводу постулатов Евклида высказывался так:
"Бесполезно доказывать, действительно ли можно провести через две точки только одну прямую…Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, нужно установить их соответствие с реальностью…однако ничто не указывает, что в геометрии понятия точки и прямой нужно понимать как в обычной жизни, наоборот, геометрия есть не более набор абстрактных идей и отношений между ними".
Он же показал, что окружающий нас мир глобально не подчиняется пятому постулату Евклида, показав что гравитация является мерой кривизны пространства и даже луч света отклоняется от идеальной евклидовой прямой.
Источник: http://www.allkosmos.ru/wp-content/uploads/2018/10/4-1.jpg
Конечно, когда Евклид работал над "Началами" он и предполагать не мог, что все те вещи, наполненные для него конкретным физическим значением окажутся всего лишь одной из множества абстракций. Что его постулаты будут подвергнуты сомнению, а проблемы его аксиоматики приведут к невероятному скачку в развитии математической логики и теории доказательств. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Математический парадокс Ришара
- Что такое натуральные числа?
- Парадокс бессмертного муравья .
- 52 герца или трогательная история про кита
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое .
