Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
В одном из прошлых материалов я начал подробно рассказывать о том, какие бывают числа: начал, естественно, с натуральных, рассказал про целые и рациональные. Если Вы, к сожалению, забыли, что это такое, рекомендую перед прочтением освежить память. Готовы? Тогда поехали!
Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.
Прогресс человечества всегда был тесно связан с математикой. Сначала древние люди научились считать — таким образом в обиход вошли натуральные числа — 1, 2, 3 и т.д. После этого люди научились делить — и математики привнесли рациональные числа — 1/2, 3/4 и т.д..
Однако была такая задача, не дававшая древним (конкретно древним грекам) покоя. Дело в том, у ученых мужей не получалось выразить диагональ квадрата со стороной 1 через рациональные числа.
Это сейчас для каждого человека, освоившего школьный курс математики, ясно, что диагональ квадрата равна корню из 2. А для древних греков всё было не так однозначно.
Гиппас из Метапонта первым осмелился предположить, что диагональ такого квадрата не является рациональным числом, за что, по некоторым данным, его изгнали соратники-пифагорейцы, как нарушившего доктрину "натуральности всех чисел".
Тот самый Гиппас
Пойдем по пути древних греков
Как доказывается иррациональность числа корень из 2 ? Да очень просто.
Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!
Во-первых, важно отметить, что m и n не имеют общих делителей, иначе бы дробь можно было сократить. Во-вторых, одно из чисел как минимум нечетное (если бы были два четных, их можно было бы сократить минимум на 2). Вот, чтобы стало понятнее:
У пар 99 и 70, 5 и 7 нет чисел, на которые бы они одновременно делились. Эти числа называются взаимно простыми.
Действуем дальше, возведем в квадрат наше равенство-предположение:
Очевидным образом понятно, что m^2 — четное число, ведь справа в множителе перед n цифра 2. Более того, из четности квадрата m следует и четность самого m! (любое четное число в квадрате само четное) Т.е. число m можно представить в виде m=2k! Подставляем:
А теперь смотрите: из последнего равенство следует, что n — тоже четное число! Возвращаемся в самое начало и вспоминаем, что из чисел m и n хотя бы одно должно быть нечетным (иначе можно сокращать). Мы пришли к противоречию и доказали методами 5 класса фундаментальное свойство числа корень из 2. Поздравляю!
Так, с корнем из 2 разобрались, а остальные ?
На самом деле между "первым прикосновением" математиков к вещественным числам и формированием их настоящей, продуманной теории прошло около 2000 лет (!!!). Вещественными числами, как таковыми, мы обязаны Ньютону, Дедекинду, Коши, Вейерштрассу, Больцано, Кантору и многим другим.
1, -1 , 1/2 — тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.
Самым оптимальным и простым определением вещественных чисел, будет использование геометрического подхода. Согласно нему, каждой точке на числовой прямой можно сопоставить вещественное число, а каждому вещественному числу — точку на прямой.
Вещественные числа (иногда их называют действительные) делятся на два больших класса: рациональные (представимые, как отношение натурального и целого m/n) и иррациональные (как корень из 2).
Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.
Вещественные числа, несмотря на кажущуюся простоту, — это невероятно тонкая субстанция. До сих пор не ясно, отражают ли они природу мироздания: дискретно наше пространство-время или континуально (непрерывно)? Я думаю у моих читателей найдется много мнений по этому поводу.
Однако, не успели математики 18-19 веков справиться с теорией вещественных чисел, как на горизонте замаячила еще более серьезная проблема: что делать с корнями из отрицательных величин? Об этом в следующем выпуске! Пока что можете почитать про трансцендентные числа!
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
