Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Математика — удивительная наука! В ней могут быть невероятно трудные и масштабные по формулировке теоремы, доказательство которых умещается в нескольких строчках, а бывают такие, которые с обывательской точки зрения и теоремами назвать не поворачивается язык. Тем не менее, их доказательства чрезвычайно сложны, а следствия монументальны. Об одной из таких теорем — теореме Жордана, я и расскажу Вам сегодня. Поехали!
Компонента А называется ограниченной, а В — неограниченной
На рисунке выше плоскость разделена замкнутой кривой S на две области внутреннюю А и внешнюю B. Так вот, теорема Жордана утверждает, "что любая плоская замкнутая кривая разделяет плоскость на две связные компоненты и является их общей границей".
И что, это надо доказывать ? Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-pdb/1041965/6f738c00-91ea-479d-9ba6-49f914162c48/s1200
Оказывается, да. У Вас, помимо этого, должен возникнуть резонный вопрос: "А что, собственно, такое, эти связные компоненты?"
Связная компонента (связное пространство) — это непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества….стойте, стойте ! Не закрывайте статью! На самом деле:
На самом деле, тут изображены множества, но сути это не меняет
Саму теорему в 1887 году сформулировал французский математик Камилл Жордан, когда исследовал интегралы и задался вопросом: "А что скрывается за утверждением о том, что кривая разделяет плоскость?". И понеслось… Первое доказательство появилось лишь спустя 18 лет! Первое же более-менее простое только в 1950 году!
Следствием из теоремы Жордана является вот такой факт: если взять две точки в одной из областей, то всегда существует маршрут между ними, который не заденет разделяющую области кривую.
Да,да,да — это тривиально
Второе следствие из теоремы Жордана так же тривиально, но оказалось очень крепким орешком: дело в том, что оно не верно в общем случае. Оно носит имя теоремы Шёнфлиса, которая утверждает, что "ограниченная область А, полученная в результате жорданова разбиения всегда гомеофорфна диску".
Это не так сложно. Посмотрите: мы всегда можем, деформируя границы любой из изображенных фигур, получить любую другую. Такие деформации в топологии называются гомеоморфизмами и абсолютно законны! Все изображенные на рисунке фигуры гомеоморфны друг друг и, в конечном счете, диску
Так вот долгое время, а именно до 1924 года, математикам казалось, что теорема Шёнфлиса верна и для трехмерных пространств. Однако, молодой американский тополог Джон Александер в буквальном смысле взял быка за рога: он построил доселе невиданную конструкцию, названную рогатой сферой Александера, которая отменяла принципы Шёнфлиса. Но это уже совсем другая история… Читайте в следующих материалах!
Интересная наука — топология! Например, с её точки зрения, человек — это шар с ручками!
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Второй проект — канал "Русский язык не для всех".
Телеграмм-канал
