Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаю раскладывать некоторые основания теории групп. Сегодня мы перейдем от геометрической интерпретации к комбинаторной в том виде, в которой нам её дал великий Эварист Галуа. Поехали!
Эварист Галуа. Источник: https://interesnyefakty.org/wp-content/uploads/evarist-galua.jpg
НАСТОЯТЕЛЬНО рекомендую перед прочтением данного материала ознакомиться с его первой частью и второй частью. Не лишним для понимания будет эта и эта статьи.
Итак, для удобства повторю рисунок из прошлого материала:
Давайте уйдем от треугольников, симметрий и поворотов, ведь теория групп, потому и прекрасна, что не привязана к физической среде. Обратите внимание, что симметрии на рисунке выше мы можем записать как переходы, если будем считать вершины, например, с верхней и далее против часовой стрелки.
Тогда симметрия S будет соответствовать переходу [1,2,3 ——>1,3,2]. Запишем все известные нам преобразования треугольника в таком виде:
Лучше ставить здесь знак эквивалентности
Таким образом в математике записываются подстановки, которые определяют, новое расположение перестановок элементов множества. Как известно из той же комбинаторики, количество перестановок элементов равно факториалу от количества элементов, что в данном случае даёт 3! = 6 — столько же, сколько инвариантов у треугольника! Совпадение? Не думаю! Проверим еще вот что:
Если проверить все подстановки таким образом, Вы поймете, что они тоже составляют группу — ни один результат за пределы группы не выскакивает . Так же есть нейтральный элемент (умножьте любую подстановку на [1,2,3 —>1,2,3} , а для каждого элемента есть обратный (например, перемножьте подстановки R и R^2)
Как видно из рисунков, применение групповых операций даёт тот же результат, разве что записанный по другому. Чувствуется, что эти группы практически идентичны друг другу.
Впрочем, математика была бы не математикой, если бы не дала звучное название этой "идентичности".
Знаки операций можно написать произвольно. В данном случае звездочка и там и там, хотя можно было бы обозначить операции как * и &, например. Суть дела от этого не меняется.
Проверим выполнение 3 свойств для некоторой функции f:
Группа H еще называется симметричной группой S3. На самом деле, всё, что здесь написано, можно свести к фразе "взаимно-однозначное соответствие"
Если существует такая функция f (а она существует — обычная биекция, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между элементами G и H, мы на отдельных примерах это показали), то группы G и H называются изоморфными, а сама функция f — изоморфизмом. С точки зрения теории групп такие группы имеют абсолютно одинаковые свойства, и их нет необходимости различать. И это один из важнейших инструментов!
Изоморфизм — это частный случай гомоморфизма, а есть еще автоморфизмы, эпифорфизмы, диффеоморфизмы, гомеоморфизмы…, но это уже совсем другая история.
Проще всего понять, что такое "изоморфизм" можно на примере числовых групп и я расскажу об этом в одном из следующих материалов. Кстати, мы еще не закончили с треугольниками, ждите статью с подробным анализом таблицы, которую мы составили для инвариантов треугольника. Спасибо за внимание!
