Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу решить с Вами один пример, который часто встречается в олимпиадных заданиях по математике, в которых предлагается сравнить два числа, заданных в очень интересном виде. Например, сегодня мы сравним вот такие:
У этого класса задач есть универсальный способ решения средствами математического анализа, а именно, с использованием производной. Сейчас покажу, как это решается практически в любой вариации чисел. Сначала немного преобразований:
Перевернутую галочку ставим тогда, когда еще не знаем, какой будет знак в итоге
Обратите внимание, что и слева и справа по структуре одинаковые выражения, а точнее, это значения некоторой функции в точках 2001 и 2000. Вот эта функция:
Очевидно, что наша задача преобразуется в сравнение двух значений одной и той же функции, для чего необходимо знать промежутки возрастания/убывания. Незаменимым инструментом здесь и выступает производная:
Нашли производную и стационарную точку, в которой она обращается в ноль. Теперь, вычислив значения производной слева и справа, нашли её знаки. Где знак больше 0 — исходная функция возрастает, и наоборот.
Теперь осталось рассмотреть исходную функцию, а именно сравнить:
Значения функции, сравниваемые нами, находятся на монотонном участке убывания исходной функции, а значит мы можем сделать однозначный вывод о величинах чисел. Спасибо за внимание!
- ССЫЛКА НА TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
- Почему 2 больше 1 ?
