Геометрическая фигура, которую называют предвестником конца света. Математический "рог Габриэля"

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжим ряд статей, посвященных интересным геометрическим фигурам. Поговорим о т.н "роге Габриэля", в который, по преданию, архангел Гавриил оповестит человечество о наступлении апокалипсиса.

На самом деле, ничего сверхъестественного, в нём нет, но конструкция точно примечательная: например, она бесконечна и конечна одновременно, но об этом дальше. Поехали!

Эванджелиста Торричелли, известный из школьного курса физики своей конструкцией барометра — и есть первооткрыватель рога Габриэля. Источник: https://www.eduspb.com/public/img/biography/t/evangelista_torricelli_by_lorenzo_lippi_1647.jpg

Итак, Торричелли в 17 веке решил "повращать в трех измерениях относительно оси Х" до боли известный нам график y = 1/x:

График имеет бесконечно удаленную точку разрыва Источник: https://st03.kakprosto.ru/images/article/2019/2/20/346369_5c6c7e7d1184c5c6c7e7d1188b.png

И получил достаточно занимательную фигуру, которую нарекли "рогом Габриэля" (еще её называют "трубой Торричелли") , как символ связи конечности и бесконечности, короткого земного мира и вечного небесного.

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/GabrielHorn.png/1920px-GabrielHorn.png

Почему так сразу? Не обошлось без математики! Вот так выражаются площадь и объем "рога":

Обратите внимание, что "рог Габриэля" — это фигура с бесконечной площадью, но конечным объемом. Ведь логарифм — это монотонно возрастающая функция, как ни крути.

В результате возникает т.н. "парадокс художника". Раз объем фигуры конечен, то мы вполне можем наполнить её конечным объемом краски, что эквивалентно покрытию всех внутренних стенок краской. С другой стороны, никакой краски нам не хватит, чтобы покрыть внешнюю бесконечную площадь поверхности!