Математика объясняет, как можно путешествовать во времени

Недавно я опубликовал записанное с экрана компьютера видео, в котором показал кота-путешественника во времени. Видео набрало более 1500 просмотров, поэтому хочу рассказать в чем же его "соль".

Ключевым понятием для осмысления происходящего на экране является эргодичность — свойство "повторения" динамической системой своего состояния с определенной вероятностью в процессе эволюции. Почему взял слово "повторение" в кавычки, да потому что в определении звучит как "близкое состояние". Но в реальной жизни точного соответствия не надо, тем более, когда речь идет о восприятии человеческим мозгом изображений.

Еще одно приятное свойство эргодичных систем в том, что описывать такую систему можно статистическими методами. Самый простой пример эргодичной системы — сосуд с газом. В нём мы статистическими методами можем определить температуру газа — меру средней кинетической энергии молекулы. Причем важно заметить, что энергия отдельной молекулы нам не важна. Также в любой момент времени есть ненулевая вероятность, что, например, расположение молекул близко к исходному, даже если сосуд множество раз нагревали и охлаждали. Замечу: "не повторяется, а близко".

Продолжим. Одной из базовых теорем эргодической теории является теорема Пуанкаре о возвращении. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.

Отображение в математике, простыми словами, — это определение соответствия точек одного множества, точкам другого.

Источник; http://mathematike.ru/files/images/lektsii/vysshaya-matematika/matematicheskiy-analiz/vvedenie/ne-otobrazheniye.png

На рисунке выше задано такое отображение f, что точке а множества X соответствует точка 2 множества Y, точке b множества X соответствует точка 1 множества Y, точке b соответствует пустое множество. В теореме Пуанкаре идет речь об отображении "пространства на себя". Простейший пример — симметрия (даа, симметрия — это процесс !!!), когда каждой точке исходного пространства ставится в соответствие точка нового пространства.

Таким образом. мы разобрались, что такое отображение пространства на себя. Осталось приписка "сохраняющем меру" или короче, обладающее инвариантной мерой. Проведем такую логическую цепочку: пространство состоит из точек — т.е. из "множества точек" — так вот "мера" множества — это грубо говоря и есть количество точек этого множества (объем сосуда например).

Корифеи могут закидать меня шапками за такие вольности в определении пространства, меры и т.д, но здесь пока ставлю цель как можно более понятно разъяснить всё на пальцах.

Наконец, разобравшись с теорией можем переходить непосредственно к "путешествия во времени".

Что мы имеем: кот в данном случае — это динамическая (эволюцию будем задавать мы с помощью матрицы преобразований) система (состоит из множества точек — т.е. пикселей) с инвариантной мерой (никаких новых пикселов не добавляется, размер изображения не меняется). Таким образом для данной системы верна теорема Пуанкаре. Выбирая слева скорость эволюции пространства (отображении на себя) мы в тот или иной момент придем к к тому, что все пиксели вернутся на своё место! В видео для этого понадобилось 444 отображений. Постойте: мы только что вернулись в прошлое!