Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Насколько я помню, на уроках геометрии формула длины окружности постулировалась без предварительного доказательства.
Между тем, это могло вызывать у учеников дополнительные вопросы: ведь так легко линейкой измерить радиус или диаметр, в то время как к окружности линейку не приложишь.
Да и вообще, почему не 3πR, например? Пришло время заполнить этот пробел и понять, как к этой формуле пришли в Древней Греции. Поехали!
Источник: https://i.pinimg.com/originals/70/c6/8b/70c68bc2b4513fad49469a5dd4b054f0.jpg
Итак, для начала возьмем две окружности произвольных радиусов. Впишем в каждую из них правильный n-угольник (начнем с треугольника):
Из курса геометрии известна формула, с помощью которой можно вычислить периметр вписанного в окружность многоугольника:
Например, для n=3 получим формулу периметра треугольника
Теперь пришло время совершить предельный переход, а именно, устремить число сторон вписанного многоугольника к бесконечности: вписать квадрат, пяти-, шестиугольник и т.д.
Очевидно, что чем больше будет сторон, тем периметр получившейся фигуры будет всё ближе и ближе к реальному значению длины окружности:
В какой-то момент вписанная в окружность фигура становится практически неотличимой от окружности
Теперь-то становится понятно, зачем нам были нужны именно две окружности: мы найдем отношения периметров вписанных в них многоугольников и посмотрим на результат:
Получившуюся пропорцию перепишем в удобной для нас форме, чтобы слева и справа в равенстве находились величины, связанный с одной и той же окружностью:
Полученный результат говорит нам вот о чём: какую бы мы окружность не взяли, отношение её длины к удвоенному радиусу, будет числом постоянным. Поэтому этот коэффициент пропорциональности необходимо как-то обозначить. Древние греки, недолго думая, записали его как π — perimeter.
Источник: http://muz-forum.com/imagehosting/2019/03/14/25c8a50959b9b6.gif
Они же предприняли одни из первых успешных попыток вычисления и изучения этой фундаментальной математической константы. Задача была не из простых, ведь человечеству понадобилось больше тысячи лет, чтобы понять истинную природу числа π. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
