Приготовьтесь к математическому обоснованию бесполезности демократии!
Итак, для начала необходимо немного погрузиться в теорию полезности. Существуют два общепринятых подхода:
Источник: https://www.nsb-rf.ru/wp-content/uploads/2020/04/http-alcoonline.ru-uploads-images-ecff5661df88db7391a5a6370486ecb71a25be33_.jpg
1. Кардиналистский, согласно которому каждый индивидуум может количественно оценить полезность той или иной альтернативы, а затем сделать выбор. Например, оценить полезность поступления в технический и гуманитарный ВУЗ в некоторых единицах измерения (в рамках этого подхода используется единица "ютиль"). Если количество "ютилей" для технического ВУЗ'а выше, то и поступление в него будет верным выбором.
- Впрочем, вскоре было показано, что количественно измерить полезность альтернатив не так-то просто, да и иногда невозможно по причине её субъективности. Может, лучше их сравнивать ?
2. Ординалистский (сравнительный) подход как раз и построен на принципе сравнения, упорядочивания альтернатив. Теперь индивидуум может построить некий набор альтернатив и может сказать, какая из них предпочтительнее для него, но не может сказать насколько.
- Например, оценить, что поступление на МехМат МГУ для него предпочтительнее, чем поступление на аналогичные факультеты других университетов.
Как видите, оба подхода имеют как преимущества, так и недостатки. Но при чём здесь демократия и диктатура?
Представим, что таких индивидуумов больше, чем один, и каждому предстоит сделать выбор более, чем из двух альтернатив. После этого должно произойти некое обобщение мнений, в результате которого получится итоговый ранжированный список альтернатив. Изобразим это таким образом:
В экономической теории такая постановка задачи называется "проблемой коллективного (социального) выбора" и заключается в поиске такого функционала обобщения мнений, который удовлетворял бы некоторому списку требований и давал непротиворечивый результат при любых вариантах ранжирования.
Американский экономист Кеннет Эрроу в 1951 году задался вопросом о том, существует ли справедливая избирательная система (по сути — функционал обобщения мнений) ? Принципы справедливости ученый сформулировал следующие:
1. Универсальность. Для любого набора результатов голосования отдельных индивидуумов существует итоговый обобщенный результат. Иначе говоря, голосование состоится в любом случае.
2. Отсутствие диктатора. Нет индивидуума, голос которого определял бы итоговый результат вне зависимости от остальных предпочтений.
3. Единогласие. Если каждый индивидуум поставил одну альтернативу выше другой, то это должно отразиться в итоговом результате:
4. Независимость от посторонних альтернатив. Мнение индивидуумов может поменяться, но если некоторые две альтернативы в разных случаях ранжируются без изменений, то и в итоговом результате изменений произойти не должно.
Удивительно, но Эрроу удалось строго доказать, что избирательной системы, которая удовлетворяет всем описанным принципам не существует!
Но, если выбросить из перечня принципов всего один, то дело наладится!
Вы уже догадались, о каком пункте идет речь. Действительно, если допустить, что существует индивидуум, мнение которого окончательно и бесповоротно определяет итоговый результат, избирательная системы будет удовлетворять оставшимся принципам!
Таким образом, любая справедливая по Эрроу избирательная система имеет диктатора!
Еще интереснее следующее следствие:
В избирательных системах без диктатора, в которых реализован принцип единогласия, не может выполняться принцип независимости от посторонних альтернатив.
Иными словами, все избирательные системы, в которых нет диктатора уязвимы перед технологией манипулирования, заключающейся в добавлении "фиктивных кандидатов", имеющих цели не выиграть выборы, а ослабить других претендентов.
Конечно, смысл теоремы Эрроу не в приговоре демократии, как таковой, а лишь в стимуле для исследований проблем теории полезности. Кроме того, не забывайте, что в рамках кардиналистского подхода теорема и вовсе не работает
На этом, пожалуй, закончу, оставив Вас наедине с этим замечательным парадоксом. Спасибо за внимание!
- Метод Платона в математике
- Как в США делят уголком?
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
