Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлых материалах я уже разбирал, что в себе скрывает правильный треугольник с точки зрения теории групп. Настоятельно рекомендую ознакомиться с этой статьей. Сегодня я хоть и постараюсь описывать процесс максимально понятно, но опора на предыдущий материал не будет лишней. Итак, рассмотрим, что в себе таит "его величество" квадрат. Поехали!
Напомню, что нашей задачей является рассмотрение всех вращений и симметрий, оставляющих квадрат неизменным. Для квадрата таких насчитывается целых 8 штук:
4 поворота и 4 симметрии — всё просто
Итак, мы нашли все возможные движения. Теперь интересно узнать, а что будет давать их композиция — т.е. последовательное выполнение. По аналогии с треугольником начинаем исследование:
Напомню, что композиция AB выполняется справа налево, несмотря на запись
Отлично, теперь у нас есть некие начальные сведения, чтобы вычислять остальные композиции алгебраически. Впрочем, никто не мешает провести всё наглядно-геометрически, но не забывайте, что нарисовать придется 64 картинки!
Используя тот факт, что исследуемые операции ассоциативны, что даёт нам возможность расставлять скобки так, как нам необходимо, а также не забывая, что операции не коммутативны (это показывал в статье про треугольник), вычисляем еще некоторые композиции без дополнительных построений.
С композициями вращений немного разобрались, теперь пришло время симметрий. Да, не забываем, что композиция симметрии с собой даёт тождественное преобразование:
Ну вот теперь точно всё, строить ничего не придется. Из полученных нами формул можно вывести все остальные:
Удобно, кстати, выводить результаты композиций, использую небольшие уравнения как на рисунке выше. Ну что же, после всех вычислений, которые кому-то могут показаться нудными, вырисовывается чудесная картина:
Таблица Кэли представляет собой латинский квадрат. Обратите внимание. что симметрией в ней и не пахнет. Группы с несимметричной таблицей Кэли называют не абелевыми или не коммутативными.
Обратите внимание, что в каждой строке и столбце этой таблицы Кэли каждая операция содержится только один раз. Доказательство того, что перед нами группа тривиально: есть единичный элемент (I), для каждого элемента можно найти обратный (это, кстати, легко видеть, т.к. в каждой строке есть I), а результаты всех композиций не выходят за рамки множества определенных нами операций вращения и симметрии.
Остается как-то назвать полученную нами конструкцию. По аналогии с симметричной группой треугольника S₃ хотелось бы назвать эту группу симметричной S₄, однако в такой группе по определению должно быть 4!=24 элемента (забегая вперед, такую группу составляют операции с тетраэдром), в то время как наш квадрат может похвастаться только восемью.
Наша группа называется диэдральной группой D₄ и наряду с собратьями других порядков играет важную роль не только в математике, но и в химии, появляется в окружающем нас мире:
Диэдральная группа D₆. Имеет 6 симметрий и 6 вращений.
Думаете на этом с квадратом покончено? Не так быстро. Приведенная выше таблица Кэли содержит еще очень много интересного: в следующей статье мы узнаем, что такое подгруппа, построим их исчерпывающий перечень для нашего квадрата и познакомимся с понятием четверной группы Клейна. О сколько нам открытий чудных готовит простой квадрат! Спасибо за внимание!
