Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам об одной интересной задаче, впервые поднятой еще в еврейском Талмуде. Задача касается распределения наследства между вдовами. Хотя она может показаться тривиальной с первого взгляда, мы увидим, что еврейские мудрецы опередили теоретический прогресс в математике на добрые шестьсот лет! Как им это удалось? Поехали!
Источник: https://www.oneforisrael.org/wp-content/uploads/2016/05/why-yeshua-1.jpg
Суть задачи
В те времена, когда среди евреев было распространено многоженство, деление наследства между вдовами было краеугольным моментом. В Талмуде приводится такой пример:
Пусть умирает муж, у которого остается три вдовы. По брачному договору первая жена должна получить 100 зуз (валюта), вторая — 200, третья — 300 зуз. Как разделить наследство, если имущество мужа стоит 100, 200, 300 зуз ?
В самом тексте (без пояснения!) даются такие ответы:
1. Если состояние — 100 зуз, все делят наследство поровну.
2. Если 200 зуз, тогда первая берет 50, а остальные двое по 75 зуз.
3. Если 300 зуз, тогда первая берет 50, вторая 100, а третья 150 зуз.
С чего бы такое решение, спросите Вы? Вот и вплоть до второй половины двадцатого века математики не могли объяснить принцип расчета древнееврейской задачи. Давайте пройдемся по случаям:
- Имущество — 300 зуз (половина от общей задолженности). Перед нами классическая задача о банкротстве. В этом случае наследство делится пропорционально согласно брачным договорам. Вроде всё ясно.
- Если имущество 100 зуз, то реализуется принцип "получить хоть что-то", и всё делится поровну.
- Если имущество 200 зуз, то распределение совсем непонятно, ни поровну, ни в пропорции.
В любом случае бросается в глаза непоследовательность алгоритма разделения наследства — то делят поровну, то пропорционально. В чем же смысл ?
Нуклеолус
Чтобы понять, как древние евреи решили эту задачу, придется переместиться в 1969 (!!!) год, когда израильский экономист Давид Шмейдлер, увлекавшийся теорией игр, разработал решение классической кооперативной игры (в таком случае участники игры могут объединять усилия, принимать совместные решения), основываясь на минимизации степени неудовлетворенности выигрышем всех подмножеств участников игры (отдельных людей, пар, троек и т.д.).
— это раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/51478/pub_5aaa9422d7bf21e0eca28bf8_5aaa9882a8673145f483d301/scale_1200
Сама теория нуклеолуса достаточно сложна с математической точки зрения и вряд ли была известна еврейским мудрецам. Однако, зачаточные понятия о нем встречаются и в других разделах Талмуда. Легко понять принцип нуклеолуса, прочитав т.н. "правило Мишны".
Представьте, что двое ведут спор об одежде. Один говорит, что вся одежда его, а второй, что ему принадлежит половина. Как разделить одежду?
В Талмуде трактовка такая: первому достается 3/4 одежды, а второму — 1/4. Но почему ? Оцените логику: второй спорщик, претендуя на половину одежды, уже в своем посыле соглашается, что вторая половина принадлежит первому. Следовательно, делить поровну нужно только половину, минимизируя степень недовольства этих двоих!
Вернемся к задаче
Пусть состояние — 200 зуз. Возможные, исходя из суммы наследства, требования каждой вдовы запишем следующим образом: (100, 200, 200). Пусть первая жена забивает положенную себе сумму в 100 зуз, тогда результат получается (100,50,50). В этом случае вторая и третья вдовы явно недовольны. Они должны разделить долю первой пополам (ведь первая уже в своём посыле претендует максимум на половину!), и поделить её между собой. Получаем (100-50, 50 + 50/2, 50+ 50/2) = (50,75,75). Можно изобразить на графике и другие решения:
Слева — распределение, внизу — сумма наследства. Источник: https://ic.pics.livejournal.com/ushastyi/12133767/756/756_600.png
Общее правила такие:
1 .Если сумма требований меньше половины состояния, каждый получает поровну, но не больше, чем половину того, что должен получить
2. Если больше — каждый сначала получает половину, а остаток делится так, что каждый недополучает поровну, но не больше своего убытка.
Таким образом, в любом случае все вдовы максимально возможно удовлетворены, т.к. все их убытки минимизированы. Вот такая чудесная математика была на вооружении еврейских мудрецов. Спасибо за внимание!
