Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Источник: https://i.pinimg.com/736x/5c/a4/3d/5ca43dbea3a4959bb0763f1e38d54703—tv-d-portable-tv.jpg
Часто с экрана телевизора в различных заявлениях политиков, социологов, эпидемиологов приходится слышать, что "какая-либо величина растёт экспоненциально". Однако, думаю не все знают, что скрывает за собой эта фраза. Исправим это недоразумение. Поехали!
Что такое экспонента?
Экспонентой называется показательная функция, основание которой равно числу Эйлера, равному приблизительно 2,71828.
Источник: https://aftershock.news/sites/default/files/u28815/Экспонента-График.jpg
На графике выше Вы можете заметить касательную к графику экспоненты в точке х=0, которая наклонена к оси абсцисс под углом в 45 градусов. Замечательное свойство экспоненты в том, что значение её производной (оно определяет тангенс угла наклона) всегда равно значению самой функции в точке. О чём это говорит? В первую очередь о том, что скорость роста экспоненты определяется самой функцией.
Здесь я достроил еще одну касательную к графику: при больших значениях x касательная будет пересекать ось абсцисс под углом, всё больше приближающимся к прямому Экспонента возрастает на всей числовой оси.
Другими словами, чем больше функция, тем быстрее она растет! Аргумент растет в два раза — скорость тоже вырастает в два раза и т.д.
Для сравнения рассмотрим график, где показана экспонента (красным цветом), линейная (синим цветом) и степенная функция (x в степени e):
Как видно из графика,, показательная функция растет быстрее, чем степенная и, тем более, линейная. Функция, обратная к экспоненте называется натуральным логарифмом.
Но вот, что примечательно: принято говорить, что экспоненциальный рост имеют все показательные функции, т.е. функции вида y=a^x, где а>1.
Примеры экспоненты в жизни
1. Размножение популяций простейших одноклеточных. Если принять, что каждую минуту происходит деление одноклеточного на два потомка, рост их популяции будет экспоненциальным.
Однако, в случае роста реальных популяций вопрос более интересный. Ведь не секрет, что их рост всегда ограничивается определенными пространственными и ресурсными рамками. При достижении порога возникает так называемая "мальтузианская ловушка".
Производство растет линейно, а население экспоненциально
2. Классическая история про количество зернышек, которые необходимо положить на каждую последующую клетку шахматной доски. Растет экспоненциально до 2^64.
3. В финансовых пирамидах рост общего бюджета также является экспоненциальным.
В реальной жизни экспоненциальная кривая из-за ограничений в пространстве и ресурсах становится логистической кривой.
Логистическая функция задается уравнением Вольтерры
**************************************************************************
А какие примеры экспоненциального роста можете привести Вы? Пишите об этом в комментариях!
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, Вы знали, что у квадратного уравнения может быть больше 2 корней ?
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
