Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу предложить Вам погрузиться в пучину классической математической логики и хочу начать с одного из основных её законов — «принципе исключения третьего«, даже, если Вы не слышали о котором, то пользовались в своей жизни не раз. В конце статьи я к тому же расскажу о ветви в математике, в котором от этого закона отказываются. Поехали!
Итак, принцип исключения третьего заключается в том, что среди двух высказываний, одно из которых является отрицанием другого, всегда имеется истинное высказывание, т.е. эти два суждения не могут быть одновременно ложными. На формальном языке данное свойство записывается тождественно истинной формулой:
- ¬ А ⋁ А, где ¬ — отрицание («не»), а ⋁ — дизъюнкция («или», «+»). Т.е. если одно высказывание истинно (1), а другое является его отрицанием (¬1 = 0), то выражение, составляющее их дизъюнкцию (логическую сумму) ¬1 ⋁ 1 = 0 ⋁ 1 = 1, т.е. тождественно истинно.
Объяснить принцип можно на простом примере. Рассмотрим выражение «Виктор Цой жив». Тогда закон исключенного третьего примет форму истинного высказывания: «Виктор Цой жив или Виктор не жив», тем самым исключая третью ситуацию , когда Цой и жив и не жив.
Простой принцип, не так ли ? Каждый из Вас, даже не задумываясь сталкивался с ситуациями его применения. Недаром, ведь, говорят «Или пан или пропал!», «Третьего не дано» и т.д.
Однако математика не была бы царицей наук, если бы не нашлось людей, которые и этот не поддающийся сомнению закон, не подвергли обструкции. Речь идет о интуиционистах — последователях математической теории голландского математика Я. Брауэра. С их точки зрения закон исключенного третьего критикуется и не принимается как инструмент логического вывода.
Пример: рассмотрим два определения неких натуральных чисел k и l:
1. k — есть наибольшее простое число, такое, что k-1 — тоже простое число (утверждение А). Если такого числа нет, то k = 1 (утверждение ¬А).
2. l — наибольшее просто число, такое, что k-2 — тоже простое (утверждение А). Если такого числа нет, то l = 1 (утверждение ¬А).
Есть ли отличие в этих определениях? С точки зрения интуиционистов — глобальное. Если первое определение чёткое и позволяет нам непосредственно вычислить число k=3.
Ведь известно, что все простые числа больше 2 нечетные, а значит, число на единицу меньше простого будет четным и никак не может быть простым числом.
То для второго способа непосредственного вычисления числа k нет, потому что до сих пор не доказано бесконечность простых пар-близнецов (например, 11 и 13, 29 и 31 и т.д.), а значит нет способа их непосредственного вычисления.
Мы не знаем, является ли их количество конечным или бесконечным , поэтому не имеем права делать вообще никакой вывод об определении числа k — ни принимать его равным 1, ни принимать его равным наибольшему k, такому, что k-2 — простое. Иными словами второе утверждение не является определением числа в интуиционистской математической логике.
Логический вывод определения числа k как бы прерывается, натыкаясь на современную недоказанность бесконечности или конечности простых пар-близнецов, хотя казалось бы, по закону исключения третьего, мы во втором случае получаем тождественно истинное высказывание, претендующее на роль определения.
Еще один вывод интуиционистов — из ложности отрицания некоторого суждения нельзя делать вывод об истинности этого суждения — т.н. ассиметрия истины и лжи.
Ну как Вам такая математическая логика? Я думаю, я продолжу рассказывать про интуиционизм, так как тема действительно интересная, а информации о ней на просторах интернета немного. Спасибо за внимание!
Благодарствую, Сударь! Все утверждения, пояснения прекрасны, но обоснование закона исключенного третьего, к сожалению, чуточку не дотягивает. От души —дальнейших успехов Вам ! У Вас талантливо получается!