Недавно я опубликовал записанное с экрана компьютера видео, в котором показал кота-путешественника во времени. Видео набрало более 1500 просмотров, поэтому хочу рассказать в чем же его «соль». Ключевым понятием для осмысления происходящего на экране является эргодичность — свойство «повторения» динамической системой своего состояния с определенной вероятностью в процессе эволюции. Почему взял слово «повторение» в кавычки, да потому что в определении звучит как «близкое состояние». Но в реальной жизни точного соответствия не надо, тем более, когда речь идет о восприятии человеческим мозгом изображений.
Еще одно приятное свойство эргодичных систем в том, что описывать такую систему можно статистическими методами. Самый простой пример эргодичной системы — сосуд с газом. В нём мы статистическими методами можем определить температуру газа — меру средней кинетической энергии молекулы. Причем важно заметить, что энергия отдельной молекулы нам не важна. Также в любой момент времени есть ненулевая вероятность, что, например, расположение молекул близко к исходному, даже если сосуд множество раз нагревали и охлаждали. Замечу: «не повторяется, а близко».
Продолжим. Одной из базовых теорем эргодической теории является теорема Пуанкаре о возвращении. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.
Отображение в математике, простыми словами, — это определение соответствия точек одного множества, точкам другого.
На рисунке выше задано такое отображение f, что точке а множества X соответствует точка 2 множества Y, точке b множества X соответствует точка 1 множества Y, точке b соответствует пустое множество. В теореме Пуанкаре идет речь об отображении «пространства на себя». Простейший пример — симметрия (даа, симметрия — это процесс !!!), когда каждой точке исходного пространства ставится в соответствие точка нового пространства.
Таким образом. мы разобрались, что такое отображение пространства на себя. Осталось приписка «сохраняющем меру» или короче, обладающее инвариантной мерой. Проведем такую логическую цепочку: пространство состоит из точек — т.е. из «множества точек» — так вот «мера» множества — это грубо говоря и есть количество точек этого множества (объем сосуда например).
Корифеи могут закидать меня шапками за такие вольности в определении пространства, меры и т.д, но здесь пока ставлю цель как можно более понятно разъяснить всё на пальцах.
Наконец, разобравшись с теорией можем переходить непосредственно к «путешествия во времени».
Что мы имеем: кот в данном случае — это динамическая (эволюцию будем задавать мы с помощью матрицы преобразований) система (состоит из множества точек — т.е. пикселей) с инвариантной мерой (никаких новых пикселов не добавляется, размер изображения не меняется). Таким образом для данной системы верна теорема Пуанкаре. Выбирая слева скорость эволюции пространства (отображении на себя) мы в тот или иной момент придем к к тому, что все пиксели вернутся на своё место! В видео для этого понадобилось 444 отображений. Постойте: мы только что вернулись в прошлое!
Вот теперь и думайте, а можно ли войти в одну реку дважды? Математика отвечает: можно, но с определенной долей вероятности и за некоторое время!
