Чему равно выражение sin(x)/x при x, стремящимся к нулю?

Математикам не чужда некая романтичность, иначе почему два хоть и важных предела получили наименование "замечательных". Точного обоснования именно такого их названия я не нашел, однако, стоит отметить, что с мнемонической точки зрения — определения отличные, запоминаются на уровне подсознания. Посмотрим, что такого примечательного в этих пределах. Дополнительно заинтригую тем, что есть как минимум 5 замечательных пределов.

Краткий ликбез по пределам

Предел — одно из основных понятий математического анализа. Отличают пределы рядов и функций (мы будем рассматривать функции далее).

На рисунке выше f(x) — обычная парабола, не имеющая пределов на числовой оси, а вот g(x) — показательная функция с основание меньшим единицы, ее предел при x, стремящимся к плюс бесконечности равен 0.

Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a.

Допустим решим такой простой пример для понимания:

Надпись под пределом фактически означает, что вместо переменной x необходимо подставить в выражение -2. Подставляем и получаем ответ : -9. Думаю теперь можно переходить к основному содержанию.

Первый замечательный предел, он же тригонометрический

Геометрическое доказательство здесь опустим. Просто понимайте, что с уменьшением угла (цифра 1 в кружочке), его синус тоже будет уменьшаться (цифра 2 в кружочке). В какой-то момент времени и синус и угол будут невероятно близки к нулю, НО не предел их отношения, неукоснительно старающийся быть равным единице. Въедливый читатель воскликнет: а как же размерности? Ведь синус безразмерен, а угол измеряется в градусах! Отвечу: угол выражается в радианах, который считается безразмерной единицей. Вспомнить, что такое радиан (в конце статьи).

Кстати, а Вы знаете, что кроме косинуса, синуса, тангенса и котангенса есть еще много неизвестных широкому кругу людей функций? Читайте в моем материале про редкие тригонометрические функции.

Существует ряд следствий из первого замечательного предела

При решении задач с помощью первого замечательного предела следует помнить, что необходимо чтобы:

а) в числителе под синусом и в знаменателе были одинаковые выражения. В ином случае необходимо преобразовывать выражение к такому виду.

б) неопределенность имела вид [0/0]. Это значит, что если отдельно взять числитель и знаменатель, они оба будут стремиться к нулю.

Пример 1. Используем еще одно следствие из первого замечательного предела

Здесь и далее в квадратных скобках я пишу правило, которое будет использоваться для дальнейшего преобразования предела. Хоть это и кажется неправильно с математической точки зрения, однако способствует удобству восприятия решений.

Пример 2.

Главная задача в этом примере — привести значения в знаменателе и в числителе к однообразному виду, что мы и делаем умножая их на 1/2.

Пример 3.

Воспользуемся определением тангенса, а также тем фактом, что при аргументе, стремящимся к нулю, косинус этого аргумента стремится к 1. В конце получаем деление единицы на бесконечно малую величину, что приводит к плюс бесконечности в ответе.

Здесь используем знание тригонометрических формул двойного угла. В данном случае здесь 2 "полуторных угла (1,5х)". Сводим к первому замечательному пределу, а в конце узнаем, что синус бесконечно малой величины стремится к нулю. Ответ готов!

Последний пример на самостоятельное устное решение. Пишите его в комментариях!