Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам о еще одной знаменитой математической проблеме, входящей в знаменитый список Гильберта под номером 8, которая до сих пор не имеет окончательного решения. Как повелось для таких задач, она чрезвычайно просто формулируется. Поехали!
Христиан Гольдбах. Источник: https://scotdir.com/wp-content/uploads/2015/9/biography-christian-goldbach_1.jpg
В 1742 году математик Христиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру сделал весьма интересное предположение о том, что всякое натуральное число большее 2 можно представить в виде суммы трех простых. В те времена, однако, единица считалась простым числом, поэтому формулировка гипотезы в настоящее время изменилась, а сама гипотеза разбилась на две:
- Бинарная проблема Гольдбаха: всякое четное число, большее 2 можно представить как сумму двух простых.
- Тернарная проблема Гольдбаха: всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых.
Для небольших чисел проверить эти гипотезы не составляет труда, например:
Интуитивно понятно, что чем больше число, тем больше вариантов его представления будет
На решение тернарной проблемы Гольдбаха ушло ровно 270 лет, прежде чем она была решена перуанским математиком Харальдом Гельфготтом.
Отметим, что британские математики Харди и Литтлвуд в 1923 году её тоже решили, однако опирались они на справедливость гипотезы Римана, которая до сих пор не доказана, хотя и, фактически, принята за истину.
Харальд Гельфготт. Источник: https://math-cs.spbu.ru/wp-content/uploads/2018/09/helfgott.jpg
Чтобы решить тернарную проблему, математики раз за разом сдвигали границы:
- В 1935 году советский академик И.М. Виноградов доказал тернарную гипотезу для любого достаточно большого числа, большего 10^6846168 (7 миллионов знаков!).
- В 1989 число было "уменьшено" до 10^43000, что не позволяло проверить оставшиеся результаты на компьютере.
- Гельфготт в 2013 году доказал, что такое число не больше 10^29, что в совокупности с машинной проверкой всех чисел до 10^30, дало окончательное решение тернарной проблемы.
Заметьте, что из справедливости бинарной проблемы следует тернарная. Действительно, если всякое четное число равно сумме двух простых, то добавляя к этому четному числу 3, можно получить любое нечетное число, больше 7. Обратное утверждение неверно.
На каком этапе сейчас бинарная проблема Гольдбаха?
Всё печально. Несмотря на то, что из справедливости тернарной гипотезы следует, что каждое четное число представимо в виде суммы не более, чем 4 простых, продвижений на горизонте нет и пока не предвидится.
В данный момент гипотезу лишь машинально проверили до 10^18. Почему бинарную гипотезу так сложно доказать? Прежде всего, как мне кажется, из-за самой матушки-природы, ведь Гольдбах фактически соединил в своей гипотезе простые числа, которые порождает умножение, со сложением.
Немного уйти от этой проблемы можно, если переформулировать гипотезу. Сказать, например, что если сложить множество простых чисел с самим собой, то в полученном множестве будут содержаться все простые числа. Это очень частый прием доказательств, более того, часто гипотезы переформулируются вообще в рамках других областей математики.
Спасибо за внимание! Надеюсь было интересно и познавательно.
