Помните, я рассказывал про задачу, которая предлагалась на вступительных экзаменах в Оксфорд в 2017 году? Так вот, сегодня просторах интернета откопал задачку, которую должны были решать уже выпускники знаменитого университета…но в 1802 году! Предлагаю Вам подумать над её решением. Поехали!
Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/225901/pub_5ee5091b7036ec19360e71c4_5ee50c967036ec19360e7206/scale_1200
Напутствие: как решать эту задачу, решать только мне, простите за тавтологию. Можете предложить намного проще, пишите в комментариях!
Итак, в задаче требуется найти сумму бесконечного ряда из правильный дробей:
Лично я в первую очередь решил описать каждую из дробей одинаковым набором коэффициентом. Очевидно, что каждая дробь из суммы имеет вид:
S2 — сумма первых двух и т.д.
А вот дальше я применил горячо любимый мною метод неопределенных коэффициентов:
Можно и нужно проверить последнее равенство.
Его суть в том, что действительную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей. Для этого мы вводим коэффициенты А и B, перемножаем дроби и приводим подобные слагаемые. Получаем, что искомое представление возможно только при А=1 и B=-1. А теперь смотрите, что получается. Аннигиляция!
В конце остается лишь выражение с k в знаменателе, которое при росте количества слагаемых суммы ожидаемо стремится к нулю, а ответ — к 1. Спасибо за внимание! Предлагайте свои способы решения в комментариях!
Математическое образование в России и за рубежом
1. Тест по математике из американского ЕГЭ.
2. Британский ЕГЭ по математике.
3. Китайский ЕГЭ по математике (часть 1)
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
