Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Итак, недавно я публиковал заметку под названием "Этих задач в школе боялся даже закоренелый отличник". Однако одно дело бояться, а другое — недолюбливать. Задачи, о которых я хочу сегодня рассказать и даже парочку решить — это задачи на смеси — наверное, одни из самых приближенных к бытовой жизни задач математики. Поехали!
Задачи на смеси: почему они вызывают такую трудность?
Источник: https://fb.ru/misc/i/gallery/126962/3118868.jpg
Во-первых, в них очень легко запутаться, особенно если с трудом владеть процентами или рациональными дробями. Кстати, по опыту, лучше всегда использовать вторые! И это относится не только к задачам на смеси.
Во-вторых, эти задачи часто необходимо визуализировать в уме, что у меня, например, всегда вызывало некоторую сложность.
В-третьих, в таких задачах иногда требуется вводить несколько неизвестных переменных и решать системы уравнений относительно их конструкций (посмотрите, как это выглядит в задачах про поезда), например отношения массы растворов и т.д. Т.е. не всегда системы уравнений решаются "обычными" способами.
Но не будем плакаться, а решим пару задачек собственноручно. Начнем с элементарной:
УСЛОВИЕ. Пусть 25 литров раствора содержат 9 литров спирта. Сколько литров спирта содержится в 11 литрах раствора.
*******************************************************************************
РЕШЕНИЕ. Всего лишь рассуждаем в соответствие со здравым смыслом.
В 25 литрах раствора — 9 литров.
Значит в 1 литре раствора — 9/25 литров спирта.
Значит в 11 литрах раствора 11*9/25=99/25 литров спирта.
Никогда не переводите неправильные дроби! Ну а теперь решим задачу уровнем посложнее, где придется рассуждать побольше.
УСЛОВИЕ. Два одинаковых сосуда наполнены спиртом.Из первого сосуда отлили p литров и налили в него столько же воды. Потом из этой смеси отлили p литров и налили столько же литров воды. Из второго сосуда вылили 2p литров спирта и налили столько же воды. Затем из полученной смеси отлили 2p литров и налили столько же воды. Определить, какую часть объема сосуда составляют p литров, если крепость окончательной смеси в первом сосуде в 25/16 раза больше крепости окончательной смеси со спиртом?
Источник: https://pbs.twimg.com/media/ENBjaRrXsAAKRXz.jpg
Именно такое первое мнение производит эта задача, но давайте разбираться.
1) Ситуация до манипуляций с сосудами. Все сосуды заполнены спиртом. Объем сосуда обозначим V.
2) Первый перелив. Отливаем p литров из первого сосуда и заменяем водой.
3) Следующая манипуляция такая: из раствора в первом сосуде отлили p литров, но а сколько литров спирта было отлито — вот в чем вопрос! Для этого вычислим, сколько литров спирта в p литрах раствора. Смотрим на рисунок выше:
- в V литрах раствора — V-p литров спирта. Делим на V.
- в 1 литре раствора — (V-p)/V литров спирта. Умножаем на p.
- в p литрах раствора — p*(V-p)/V литров спирта.
Таким образом на втором этапе ушло p*(V-p)/V литров спирта.
А вот столько литров спирта осталось в первом сосуде.
Ситуация со вторым сосудом аналогичная, за исключением того, что там всегда отливали двойную порцию, тогда :
Осталось во втором сосуде.
4) Крепость раствора — это концентрация спирта в нем. Тогда по условию задачи:
В первую очередь сокращаем V, а дальше экспериментируем с вынесениями за скобки, пока не придем к такому варианту :
Ответ : 1/6 часть.
Итак прекрасная задача на разведение, прямо как у гомеопатов, о которых я писал недавно с точки зрения математики.
************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
