Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем удивительное геометрическое путешествие. Сегодня я хочу рассказать Вам об аналоге теоремы косинусов для четырехугольников — соотношении Бретшнайдера. Поехали!
Карл Антон Бретшнайдер — немецкий математик.
Итак, пусть имеется четырехугольник, у которого известны длины сторон и диагоналей:
Проведем дополнительные построения на сторонах (выделены жирным цветом на чертеже):
Построение таково, что у нас появляются четыре пары равных углов (отмечены на чертеже 1-ой,2,3-мя дугами и одной ломаной). Полученные треугольники подобны соответственно:
Используя свойство сторон подобных треугольников, получаем следующие соотношения (я вывел эти треугольники отдельно, чтобы было более понятно):
Таким образом, из этих равенств получаем:
Ключевой момент доказательства в том, чтобы установить, что BFED — параллелограмм. Во-первых, уже известно, что его противоположные стороны BF и DE равны. Тогда для достижения цели необходимо лишь доказать, что они параллельны:
Здесь мы получили, что сумма двух углов четырехугольника равна 180 градусов, а следовательно BF и DE параллельны. В последней строчке мы пользуемся свойством параллелограмма: его противоположные стороны попарно равны.На следующем шаге обращаем внимание, что:
Взгляните на чертеж: угол EAF — это угол А + два угла, которые в сумме дают угол СТеперь записываем теорему косинусов для треугольника FAE и после тривиальных преобразований получаем:
Вот мы и получили теорему косинусов для четырехугольника. Обратите внимание, что, если сумма углов А и С будет равна 180 градусам (а это значит, что четырехугольник можно вписать в окружность), косинус угла будет равен минус -1, а из оставшихся членов можно легко получить теорему Птолемея, про которую я не раз рассказывал.
